Формулы сокращенного умножения
Все нижеперечисленные формулы пригодятся нам, даже не так, а очень полезны для решения всевозможных задач и уравнений. Первые 7 строк формул довольно просты и, желательно, выучить их наизусть. Но даже если вы не выучите их - то их легко получить самостоятельно. Сделаем это.
Например, одна их самых ходовых формул сокращенного умножения: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Давайте выведем ее самостоятельно: мы знаем что степень представляет собой умножение числа на себя же столько раз сколько указано в показателе степени. В нашем случае показатель степени равен 2, а значит выражение (a + b) нужно умножить на себя же (т.е. получаем два множителя (a + b)): (a + b)2 = (a + b)(a + b). Ну а теперь давайте раскроем скобки. Для этого каждое слагаемое из первой скобки мы должны перемножить с каждым слагаемым из второй скобки, получаем: aa + ab + ba + bb. aa = a2, ba = ab - помним, что от перемены мест множителей произведение не меняется, bb = b2. Подставляя получаем: aa + ab + ba + bb = a2 + ab + ab + b2. Приведем подобные слагаемые: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Итог: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Как видите ничего сложного. Подобным образом можно вывести все остальные формулы сокращенного умножения.
Формула | Примеры |
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 | $$\left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 + 2*\sqrt{2}*\sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = $$ $$2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$$ |
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 | $$\left(\sqrt{20} - \sqrt{5}\right)^2 = \left(\sqrt{20}\right)^2 - 2*\sqrt{20}*\sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = $$ $$20 - 2\sqrt{100} + 5 = 25 - 2 * 10 = 25 - 20 = 5$$ |
a2 - b2 = (a - b)(a + b) | $$\left(\sqrt{6} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6} + \sqrt{3}\right) = \left(\sqrt{6}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = $$ 6 - 3 = 3 |
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 | $$\left(5 + \sqrt{5}\right)^3 = 5^3 + 3 * 5^2 * \sqrt{5} + 3 * 5 * \sqrt{5^2} + \sqrt{5^3} = $$ $$125 + 75\sqrt{5} + 75 + \sqrt{5^3} = 200 + 75\sqrt{5} + \sqrt{5^2 * 5} = $$ $$200 + 75\sqrt{5} + \sqrt{5^2} * \sqrt{5} = 200 + 75\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 200 + 80\sqrt{5}$$ |
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 | $$\left(5 - \sqrt{5}\right)^3 = 5^3 - 3 * 5^2 * \sqrt{5} + 3 * 5 * \sqrt{5^2} - \sqrt{5^3} = $$ $$125 - 75\sqrt{5} + 75 - \sqrt{5^3} = 200 - 75\sqrt{5} - \sqrt{5^2 * 5} = $$ $$200 - 75\sqrt{5} - \sqrt{5^2} * \sqrt{5} = 200 - 75\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = 200 - 80\sqrt{5}$$ |
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) | 3003 + 7003 = (300 + 700)(3002 - 300 * 700 + 7002) = = 1`000(90`000 - 210`000 + 490`000) = = 1`000 * 370`000 = 370`000`000 |
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) | $$\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3^3 = \left(\frac{1}{3} - 3\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} * 3 + 3^2\right) = $$ $$= \left(\frac{1}{3} - \frac{9}{3}\right)\left(\frac{1}{9} + 1 + 9\right) = -\frac{8}{3}\left(\frac{1}{9} + 10\right) = $$ $$= -\frac{8}{3}\left(\frac{1}{9} + \frac{90}{9}\right) = -\frac{8}{3} * \frac{91}{9} = $$ $$= -\frac{728}{27} = -26\frac{26}{27} = -26,(962)$$ |
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac | |
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac | |
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ac | |
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) | |
(a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2(ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de) | |
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc | |
(a + b + c)4 = a4 + b4 + c4 + 4(a3b + a3c + b3a + b3c + c3a + c3b) + 6(a2b2 + a2c2 + b2a2) + 12(a2bc + b2ac + c2ab) |