Сравнение положительных дробей
Сравнение дробей не сложнее, чем сравнение целых чисел. Единственный нюанс, который нужно учитывать - это знаменатели.
В конце темы описаны три основных правила сравнения дробей, которыми я пользуюсь чаще всего. Это на случай, если вам лень запоминать все правила описанные ниже.
Итак, основные правила при сравнении дробей:
- Если знаменатели у дробей одинаковы (равны), то сравниваем числители как целые числа. Например: $$\frac{7}{15} < \frac{9}{15}, т.к. 7 < 9$$, $$\frac{6}{13} > \frac{4}{13}, т.к. 6 > 4$$.
- При сравнении дробей с одинаковыми числителями - сравниваем знаменатели и ставим знак сравнения противоположный полученному. Например: $$\frac{5}{11} < \frac{5}{9}, т.к. 11 > 9$$, $$\frac{10}{19} > \frac{10}{25}, т.к. 19 < 25$$.
- При сравнении дробей с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители. Например: $$\frac{5}{9} и \frac{4}{6}$$. НОК (9, 6) = 18. Дополнительные множители: для дроби $$\frac{5}{9}$$, 18 : 9 = 2; для дроби $$\frac{4}{6}$$, 18 : 6 = 3. Получаем дроби $$\frac{5 * 2}{18} и \frac{4 * 3}{18}$$, $$\frac{10}{18} и \frac{12}{18}$$. Следовательно: $$\frac{10}{18} < \frac{12}{18}, т.к. 10 < 12$$. А значит: $$\frac{5}{9} < \frac{4}{6}$$.
- При сравнении смешанных чисел: если целые части равны, то сравниваниваем дробные части по правилам выше. Если же целые части не равны, то сравниваем их. Сравним дроби: $$2\frac{4}{10} и 2\frac{8}{10}$$. Т.к. целые части равны 2 = 2, то сравниваем дробные: $$\frac{4}{10} < \frac{8}{10}, т.к. 4 < 8$$. Следовательно: $$2\frac{4}{10} < 2\frac{8}{10}$$. Еще пример: сравним дроби $$4\frac{15}{64} и 3\frac{2}{7}$$, здесь у нас целые части не равны, а значит сравниваем их: 4 > 3, следовательно: $$4\frac{15}{64} > 3\frac{2}{7}$$. При отсутствии целой части, она считается равной нулю: сравним дроби $$\frac{15}{64} и 3\frac{2}{7}$$, здесь у нас целые части не равны, а значит сравниваем их: 0 < 3, следовательно: $$\frac{15}{64} < 3\frac{2}{7}$$. Если сравнивается смешанное число с неправильной дробью, то, есть смысл, преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Или наоборот, преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем сравнивать по правилам выше. Cравним дроби $$5\frac{6}{7} и \frac{78}{7}$$, вторая дробь является неправильной, значит нужно, либо выделить целую часть у второй дроби, либо первую дробь преобразовать в неправильную. Выделим целую часть у второй дроби: 78 : 7 = 11 (остаток 1), следовательно: $$\frac{78}{7} = 11\frac{1}{7}$$. Ну а теперь сравним целые части: 5 < 11, значит: $$5\frac{6}{7} < \frac{78}{7}$$.
Сравнение отрицательных дробей
Если вы сравниваете отрицательные дроби, то помним, что минус надо относить к числителю. Сравнение отрицательных дробей производится по тем же правилам, что и выше, за исключением второго пункта: когда в двух отрицательных дробях числители равны, то сравниваем знаменатели. Получившийся знак сравнения и будет верным ответом.
Рассмотрим несколько примеров.
№ 1: Сравним дроби $$-\frac{5}{9} и -\frac{7}{9}$$. Т.к. знаменатели равны, то сравниваем числители: -5 > -7, следовательно: $$-\frac{5}{9} > -\frac{7}{9}$$.
№ 2: Сравним дроби $$-\frac{8}{10} и -\frac{8}{20}$$. Числители равны, следовательно нужно сравнить знаменатели: 10 < 20, а значит: $$-\frac{8}{10} < -\frac{8}{20}$$.
№ 3: Сравним дроби $$-\frac{3}{4} и -\frac{1}{6}$$. Ни знаменатели, ни числители не равны, а значит нужно привести дроби к общему знаменателю. НОК (4, 6) = 12, дополнительный множитель для первой дроби = 3, для второй = 2. Получаем: $$-\frac{3 * 3}{12} и -\frac{1 * 2}{12}$$, $$-\frac{9}{12} и -\frac{2}{12}$$. Теперь сравниваем числители: -9 < -2, следовательно: $$-\frac{9}{12} < -\frac{2}{12}$$. А значит: $$-\frac{3}{4} < -\frac{1}{6}$$.
№ 4: Сравним дроби $$-2\frac{1}{4} и -2\frac{2}{5}$$. Здесь у нас целые части равны, следовательно надо дробные части приводить к общему знаменателю и сравнивать числители. Для того, чтобы верно сравнить дроби в таком случае, минус стоящий перед дробью нужно относить к числителю, а не к целой части. После приведения дробных частей к общему знаменателю, получаем следующие дроби: $$\frac{-5}{20} и \frac{-8}{20}$$. Сравниваем числители: -5 > -8, следовательно: $$-2\frac{5}{20} > -2\frac{8}{20}$$. А значит: $$-2\frac{1}{4} > -2\frac{2}{5}$$.
№ 5: Сравним дроби $$-3\frac{1}{4} и -2\frac{2}{5}$$. Т.к. целые части не равны, то сравниваем их как два отрицательных числа: -3 < -2. Следовательно: $$-3\frac{1}{4} < -2\frac{2}{5}$$.
№ 6: Сравним дроби $$-\frac{1}{4} и -2\frac{2}{5}$$. Т.к. целые части не равны, то сравниваем их: 0 > -2. Следовательно: $$-\frac{1}{4} > -2\frac{2}{5}$$.
Думаю не стоит рассматривать примеры, где сравниваются положительная и отрицательная дробь. Понятно, что любая положительная дробь больше любой отрицательной дроби и ноля. А любая отрицательная дробь меньше ноля.
P.S. Если вам сложно, лень, скучно запоминать все эти правила, хотя они интуитивно понятны и логичны, то можно запомнить лишь три простых шага и пользоваться только ими:
- Преобразовать смешанные числа, если, конечно, они имеются, в неправильные дроби.
- Привести дроби к общему знаменателю, если это необходимо.
- Сравнить числители дробей, с учетом знака перед дробью, как обычные целые числа.