Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь

В прошлой теме мы немного преобразовывали дроби из обыкновенной в десятичную и наоборот. Это, как вы поняли, делается легко и быстро, когда в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.. Но не всегда все получается так гладко. Чаще всего, знаменатель дроби отличен от вышеприведенных чисел. В таком случае подход к преобразованию дробей будет другой. Сейчас мы все это рассмотрим подробнее.

Для преобразования десятичной дроби в смешанное число (обыкновенную дробь) нужно: целую часть оставить на месте, дробную часть записать в числитель дроби, а в знаменатель записать единицу и столько нулей, сколько цифр содержится в дробной части. Например, преобразуем дробь: 4,587 (четыре целых пятьсот восемьдесят семь тысячных) в смешанное число. Т.к. в дробной части у нас содержится 3 цифры, то в знаменатель мы будем записывать единицу и три нуля: $$4,587 = 4\frac{587}{1000}$$. Аналогично: $$1,0012 = 1\frac{12}{10000}$$ (одна целая двенадцать десятитысячных). При необходимости, можно еще все число вместе с целой частью записать в числитель без десятичной запятой, в таком случае у вас получится неправильная дробь: $$1,0012 = \frac{10012}{10000}$$. Логично, что если мы выделим целую часть, то получим: $$\frac{10012}{10000} = 1\frac{12}{10000}$$.

Если целая часть в десятичной дроби нулевая, то 0 перед обыкновенной дробью не пишут: $$0,47 = \frac{47}{100}$$.

Принято, после приведения десятичной дроби в обыкновенную (или в смешанное число), сократить дробь до несократимой дроби: $$1,0012 = 1\frac{12}{10000} = 1\frac{3}{2500}$$ (здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на 4).

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель. Давайте посмотрим, как это делается. Производить расчеты будем в столбик. Преобразуем дробь $$\frac{5}{8}$$ в десятичную.

5 | 8 _ _
| 0

Делим 5 на 8, т.к. 5 < 8, то в частное записываем 0 (в данном случае 0 не является лидирующим, т.к. он входит в состав числа и является целой частью десятичной дроби, поэтому мы его пишем обязательно).

- 5 | 8 _ _
0 _ | 0 ,
5 0

Считаем остаток от деления: 0 * 8 = 0, 5 - 0 = 5. И все, цифры нашего делимого закончились. Но, у нас остался остаток, а значит преобразование в десятичную дробь не закончено. В таком случае, надо к остатку дописать 0 справа, а в результате (в частном) поставить десятичную запятую.

- 5 | 8 _ _
0 _ | 0 , 6
- 5 0
4 8
2

И теперь мы будем искать значение дробной части. Для этого надо 50 разделить на 8. 50 : 8 = 6 (остаток 2).

- 5 | 8 _ _
0 _ _ | 0 , 6 2
- 5 0
4 8 _
- 2 0
1 6
4

Повторяем процесс. Дописываем к остатку 0 и делим получившееся число на 8. И так мы должны делать до тех пор, пока либо остаток не станет нулевым, либо пока мы не найдем период дробной части. Довольно часто дробная часть получается бесконечной. В таком случае, как только найдена постоянно повторяющаяся цифра или группа цифр в дробной части, дальнейшие вычисления можно прекратить. В данном примере, мы получим конечную десятичную дробь. О бесконечных десятичных дробях мы поговорим в следующей теме.

Поделим 20 : 8 = 2 (остаток 4).

- 5 | 8 _ _
0 _ _ _ | 0 , 6 2 5
- 5 0
4 8 _ _
- 2 0
1 6 _
- 4 0
4 0
0

Дописываем 0 к 4, делим: 40 : 8 = 5 (остаток 0). На этом наши вычисления закончены, т.к. мы получили нулевой остаток.

Итого: $$\frac{5}{8} = 0,625$$.

Полезный совет

Если есть возможность, при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, найти такое натуральное число, умножение знаменателя на который, даст в результате какое-либо из чисел 10, 100, 1000 и т.д., то стоит этой возможностью воспользоваться. Тогда отпадает необходимость делить числитель на знаменатель, чтобы преобразовать дробь в десятичную.

При поиске такого множителя, можно воспользоваться признаками делимости чисел.

Давайте посмотрим на примере. Преобразуем дробь $$\frac{13}{25}$$ в десятичную. По признакам делимости, если последние две цифры нули, то число делится на 25 без остатка. Число 100, как раз подходит под этот признак. А значит, мы можем найти такой множитель, при умножении которого на 25, мы получим число 100. Найдем его: 100 : 25 = 4. Теперь нам лишь осталось домножить на 4 числитель и знаменатель нашей дроби. Домножим: $$\frac{13}{25} = \frac{13 * 4}{25 * 4} = $$ $$\frac{52}{100} = 0,52$$.

Аналогично, преобразуем дробь $$-\frac{3}{4}$$ в десятичную. По признакам делимости, если последние две цифры нули, то число делится на 4 без остатка. Найдем наш натуральный множитель: 100 : 4 = 25. Умножим числитель и знаменатель на 25, получаем: $$-\frac{3}{4} = -\frac{3 * 25}{4 * 25} = $$ $$-\frac{75}{100} = -0,75$$.

И последний пример. Преобразуем дробь $$\frac{2}{125}$$ в десятичную. Множителем будет являться число 8, домножим числитель и знаменатель дроби на 8: $$\frac{2 * 8}{125 * 8} = \frac{16}{1000} = 0,016$$.

В общем и целом, несократимая дробь может быть преобразована в конечную десятичную дробь, если при разложении знаменателя на простые множители, мы получаем только двойки и/или пятерки. В противном случае, дробь, при преобразовании в десятичную, будет являться бесконечной.

Задача № 1

Преобразуйте дробь 3,25 в смешанное число.

Посмотреть ответ

$$3\frac{25}{100} = 3\frac{1}{4}$$.

Задача № 2

Преобразуйте дробь 0,017 в обыкновенную.

Посмотреть ответ

$$\frac{17}{1000}$$.

Задача № 3

Преобразуйте дробь -25,315 в смешанное число.

Посмотреть ответ

$$-25\frac{315}{1000} = -25\frac{63}{200}$$.

Задача № 4

Преобразуйте дробь $$15\frac{9}{10}$$ в десятичную.

Посмотреть ответ

15,9.

Задача № 5

Преобразуйте дробь $$-2\frac{11}{50}$$ в десятичную.

Посмотреть ответ

$$-2\frac{11}{50} = -2\frac{22}{100} = -2,22$$.

Задача № 6

Преобразуйте дробь $$3\frac{1}{16}$$ в десятичную.

Посмотреть ответ

Для начала, преобразуем смешанное число в обыкновенную дробь: $$3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}$$, а потом делим числитель на знаменатель столбиком, как описано выше: 49 : 16 = 3,0625. Мы могли бы и не преобразовывать смешанное число, а представить его в виде: $$3 + \frac{1}{16}$$. Далее, все тем же столбиком преобразовать обыкновенную дробь $$\frac{1}{16}$$ в десятичную и потом сложить полученный результат с целой частью: 3 + 0,0625 = 3,0625. Как складывать десятичне дроби мы будем проходить чуть позже. Ответ: $$3\frac{1}{16} = 3,0625$$.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0