Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
В прошлой теме мы немного преобразовывали дроби из обыкновенной в десятичную и наоборот. Это, как вы поняли, делается легко и быстро, когда в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.. Но не всегда все получается так гладко. Чаще всего, знаменатель дроби отличен от вышеприведенных чисел. В таком случае подход к преобразованию дробей будет другой. Сейчас мы все это рассмотрим подробнее.
Для преобразования десятичной дроби в смешанное число (обыкновенную дробь) нужно: целую часть оставить на месте, дробную часть записать в числитель дроби, а в знаменатель записать единицу и столько нулей, сколько цифр содержится в дробной части. Например, преобразуем дробь: 4,587 (четыре целых пятьсот восемьдесят семь тысячных) в смешанное число. Т.к. в дробной части у нас содержится 3 цифры, то в знаменатель мы будем записывать единицу и три нуля: $$4,587 = 4\frac{587}{1000}$$. Аналогично: $$1,0012 = 1\frac{12}{10000}$$ (одна целая двенадцать десятитысячных). При необходимости, можно еще все число вместе с целой частью записать в числитель без десятичной запятой, в таком случае у вас получится неправильная дробь: $$1,0012 = \frac{10012}{10000}$$. Логично, что если мы выделим целую часть, то получим: $$\frac{10012}{10000} = 1\frac{12}{10000}$$.
Если целая часть в десятичной дроби нулевая, то 0 перед обыкновенной дробью не пишут: $$0,47 = \frac{47}{100}$$.
Принято, после приведения десятичной дроби в обыкновенную (или в смешанное число), сократить дробь до несократимой дроби: $$1,0012 = 1\frac{12}{10000} = 1\frac{3}{2500}$$ (здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на 4).
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель. Давайте посмотрим, как это делается. Производить расчеты будем в столбик. Преобразуем дробь $$\frac{5}{8}$$ в десятичную.
5 | | | 8 | _ | _ |
| | 0 |
Делим 5 на 8, т.к. 5 < 8, то в частное записываем 0 (в данном случае 0 не является лидирующим, т.к. он входит в состав числа и является целой частью десятичной дроби, поэтому мы его пишем обязательно).
- | 5 | | | 8 | _ | _ | |
0 | _ | | | 0 | , | ||
5 | 0 |
Считаем остаток от деления: 0 * 8 = 0, 5 - 0 = 5. И все, цифры нашего делимого закончились. Но, у нас остался остаток, а значит преобразование в десятичную дробь не закончено. В таком случае, надо к остатку дописать 0 справа, а в результате (в частном) поставить десятичную запятую.
- | 5 | | | 8 | _ | _ | |
0 | _ | | | 0 | , | 6 | |
- | 5 | 0 | ||||
4 | 8 | |||||
2 |
И теперь мы будем искать значение дробной части. Для этого надо 50 разделить на 8. 50 : 8 = 6 (остаток 2).
- | 5 | | | 8 | _ | _ | ||
0 | _ | _ | | | 0 | , | 6 | 2 |
- | 5 | 0 | |||||
4 | 8 | _ | |||||
- | 2 | 0 | |||||
1 | 6 | ||||||
4 |
Повторяем процесс. Дописываем к остатку 0 и делим получившееся число на 8. И так мы должны делать до тех пор, пока либо остаток не станет нулевым, либо пока мы не найдем период дробной части. Довольно часто дробная часть получается бесконечной. В таком случае, как только найдена постоянно повторяющаяся цифра или группа цифр в дробной части, дальнейшие вычисления можно прекратить. В данном примере, мы получим конечную десятичную дробь. О бесконечных десятичных дробях мы поговорим в следующей теме.
Поделим 20 : 8 = 2 (остаток 4).
- | 5 | | | 8 | _ | _ | ||||
0 | _ | _ | _ | | | 0 | , | 6 | 2 | 5 |
- | 5 | 0 | |||||||
4 | 8 | _ | _ | ||||||
- | 2 | 0 | |||||||
1 | 6 | _ | |||||||
- | 4 | 0 | |||||||
4 | 0 | ||||||||
0 |
Дописываем 0 к 4, делим: 40 : 8 = 5 (остаток 0). На этом наши вычисления закончены, т.к. мы получили нулевой остаток.
Итого: $$\frac{5}{8} = 0,625$$.
Полезный совет
Если есть возможность, при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, найти такое натуральное число, умножение знаменателя на который, даст в результате какое-либо из чисел 10, 100, 1000 и т.д., то стоит этой возможностью воспользоваться. Тогда отпадает необходимость делить числитель на знаменатель, чтобы преобразовать дробь в десятичную.
При поиске такого множителя, можно воспользоваться признаками делимости чисел.
Давайте посмотрим на примере. Преобразуем дробь $$\frac{13}{25}$$ в десятичную. По признакам делимости, если последние две цифры нули, то число делится на 25 без остатка. Число 100, как раз подходит под этот признак. А значит, мы можем найти такой множитель, при умножении которого на 25, мы получим число 100. Найдем его: 100 : 25 = 4. Теперь нам лишь осталось домножить на 4 числитель и знаменатель нашей дроби. Домножим: $$\frac{13}{25} = \frac{13 * 4}{25 * 4} = $$ $$\frac{52}{100} = 0,52$$.
Аналогично, преобразуем дробь $$-\frac{3}{4}$$ в десятичную. По признакам делимости, если последние две цифры нули, то число делится на 4 без остатка. Найдем наш натуральный множитель: 100 : 4 = 25. Умножим числитель и знаменатель на 25, получаем: $$-\frac{3}{4} = -\frac{3 * 25}{4 * 25} = $$ $$-\frac{75}{100} = -0,75$$.
И последний пример. Преобразуем дробь $$\frac{2}{125}$$ в десятичную. Множителем будет являться число 8, домножим числитель и знаменатель дроби на 8: $$\frac{2 * 8}{125 * 8} = \frac{16}{1000} = 0,016$$.
В общем и целом, несократимая дробь может быть преобразована в конечную десятичную дробь, если при разложении знаменателя на простые множители, мы получаем только двойки и/или пятерки. В противном случае, дробь, при преобразовании в десятичную, будет являться бесконечной.