Разложение натурального числа на простые множители
Любое составное число можно представить в виде умножения простых чисел - эта операция называется разложением числа на простые множители.
Суть следующая: пользуясь признаками делимости чисел или с помощью подбора, делим число на простые до тех пор, пока не получим единицу.
Давайте разбираться на примере: пусть есть число 24. Первый анализ показывает, что оно делится на 2 без остатка, а 2, как мы уже знаем, это простое число. Отлично, делим: 24 : 2 = 12.
Теперь нам нужно найти самое маленькое простое число, которое поделит 12 без остатка. Ииииии..... Это снова 2. Делим: 12 : 2 = 6.
Ищем простой делитель для шестерки. И как вы думаете, какое это число?) Правильно) Делим: 6 : 2 = 3.
Осталось найти простой делитель для тройки, и этим делителем является 3. Получаем: 3 : 3 = 1. Все, мы получили единицу, на этом закончим разложение и запишем результат: 24 = 2 * 2 * 2 * 3.
Т.е. если сейчас по порядку начать перемножать наше разложение, то мы получим число 24. Давайте перемножим и проверим: 2 * 2 * 2 * 3 = 4 * 2 * 3 = 8 * 3 = 24, все верно!)
Представление всего вышеперечисленного в более наглядном виде:
Число | Делитель |
---|---|
24 | 2 |
12 | 2 |
6 | 2 |
3 | 3 |
1 |
Из таблицы видно, что число 12 мы уже можем представить в виде умножения простых чисел: 12 = 2 * 2 * 3, а для числа 6, разложение на простые множители будет выглядеть следующим образом: 6 = 2 * 3.
Давайте теперь разложим на простые множители число побольше.
Число | Делитель |
---|---|
357 | 3 |
119 | 7 |
17 | 17 |
1 |
Итак разложим число 357. Из таблицы признаков делимости, выясняем, что число 357, делится без остатка на 3, которое является простым числом. Делим: 357 : 3 = 119.
Далее методом подбора находим простой делитель для числа 119, им является число 7. Получаем: 119 : 7 = 17.
Теперь находим простой делитель для числа 17, но ведь 17 само является простым числом. Значит на него и делим: 17 : 17 = 1.
Итог: 357 = 3 * 7 * 17. И не забываем правило: от перемены мест множителей произведение не меняется!) Т.е. запись: 357 = 3 * 7 * 17 равносильна записи 357 = 17 * 7 * 3 и другим перестановкам этих множителей.