Понятие степени числа
Как мы помним, умножение - это краткая запись сложения одинаковых чисел. Так вот степень - это краткая запись умножения одинаковых чисел. Например: 7 * 7 * 7 * 7 = 74 = 2401. Слева от равно количество умножаемых семерок - четыре штуки. Следовательно, мы можем записать вместо кучи одинаковых множителей, выражение в виде степени, т.е. возвести 7 в четвертую степень. В общем виде запись степени выглядит так:
Число а - называют основанием степени, число n - показателем степени, ну а число b - это результат возведения числа a в степень n.
Как в нашем примере с семерками: 7 - это основание степени, 4 - это показатель степени, а 2401 - результат возведения семерки в степень 4 (т.е. результат умножения семерки на себя четыре раза: 7 * 7 * 7 * 7 = 2401).
Возводить в степень можно не только числа, но и переменные и даже целые выражения, т.к. и переменные и выражения подразумевают под собой некоторое неизвестное нам число: ху, (х + 9у)3.
Основные свойства степеней
В таблице ниже некоторые примеры содержат корни. Эту тему мы с вами будем проходить позднее. Однако без этих примеров, описание свойств спеней было бы не полным.
Все нижеперечисленные свойства степеней справедливы в следующих случаях:
- Если основание степени положительное число (a, b ∈ R; a, b > 0), то для любого показателя степени (n, m ∈ R).
- Если основание степени нулевое (а = 0), то только для положительного показателя степени (n ∈ R; n > 0).
- Если основание степени отрицательное число (a, b ∈ R; a или b < 0), то только для целого показателя степени (n, m ∈ Z).
- В остальных случаях степень - не определена.
Свойство | Примеры |
а1 = а | $$7^1 = 7, (-5)^1 = -5, \left(\frac{3}{5}\right)^1 = \frac{3}{5}, 0,76^1 = 0,76$$ х1 = х, (у2 - 32)1 = у2 - 32, 01 = 0 |
0n = 0, для n > 0; 0n - не определено, для n ⩽ 0 | 05,47 = 0, 00 - не определено, 0-3 - не определено |
$$a^0 = 1,$$ для любого а ≠ 0 | х0 = 1, (-9)0 = 1, 5,980 = 1 |
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n},$$ для а ≠ 0 | $$(-15)^{-4} = \frac{1}{(-15)^4} = \frac{1}{50625}$$ $$-x^{-5} = -\frac{1}{x^5}, (3x + 5)^{-7} = \frac{1}{(3x + 5)^7}$$ |
$$a^\frac{m}{n} = \sqrt[^n]{a^m},$$ для а > 0, m ∈ Z, n ∈ N, n ⩾ 2; $$a^\frac{m}{n}$$ - не определено, для a < 0 | $$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[^2]{16} = 4,$$ $$32^{-\frac{2}{5}} = \sqrt[^5]{32^{-2}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{32^2}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{1064}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{4^5}} = \frac{1}{4}$$ |
$$a^m * a^n = a^{m + n}$$ | $$3^2 * 3^{-5} = 3^{2 + (-5)} = 3^{2 - 5} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27},$$ $$t^5 * t^{\frac{1}{2}} = t^{5 + \frac{1}{2}} = t^\frac{11}{2}$$ |
$$a^m : a^n = a^{m - n}, где a ≠ 0$$ | $$3^2 : 3^{-5} = 3^{2-(-5)} = 3^7 = 2187,$$ $$t^5 : t^2 = t^{5-2} = t^3$$ |
$$(a^n)^m = a^{n * m}$$ | $$(3^2)^{-5} = 3^{2*(-5)} = 3^{-10} = \frac{1}{3^{10}},$$ $$(t^{\frac{2}{3}})^3 = t^{\frac{2}{3} * 3} = t^2$$ |
$$(a * b)^n = a^n * b^{ n}$$ | $$(3 * 5)^2 = 3^2 * 5^2 = 9 * 25 = 225,$$ $$(-2 * t^2)^4 = (-2)^4 * (t^2)^4 = 16 * t^{2 * 4} = 16t^8$$ |
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^{ n}}, где b ≠ 0;$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n, где a, b ≠ 0;$$ | $$\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{5^3} = \frac{-27}{125},$$ $$\left(\frac{t}{m^2}\right)^{-5} = \left(\frac{m^2}{t}\right)^5 = \frac{(m^2)^5}{t^5} = \frac{m^{10}}{t^5}$$ |