Понятие степени числа

Как мы помним, умножение - это краткая запись сложения одинаковых чисел. Так вот степень - это краткая запись умножения одинаковых чисел. Например: 7 * 7 * 7 * 7 = 74 = 2401. Слева от равно количество умножаемых семерок - четыре штуки. Следовательно, мы можем записать вместо кучи одинаковых множителей, выражение в виде степени, т.е. возвести 7 в четвертую степень. В общем виде запись степени выглядит так:

Понятие степени

Число а - называют основанием степени, число n - показателем степени, ну а число b - это результат возведения числа a в степень n.

Как в нашем примере с семерками: 7 - это основание степени, 4 - это показатель степени, а 2401 - результат возведения семерки в степень 4 (т.е. результат умножения семерки на себя четыре раза: 7 * 7 * 7 * 7 = 2401).

Возводить в степень можно не только числа, но и переменные и даже целые выражения, т.к. и переменные и выражения подразумевают под собой некоторое неизвестное нам число: ху, (х + 9у)3.

Основные свойства степеней

В таблице ниже некоторые примеры содержат корни. Эту тему мы с вами будем проходить позднее. Однако без этих примеров, описание свойств спеней было бы не полным.

Все нижеперечисленные свойства степеней справедливы в следующих случаях:

  1. Если основание степени положительное число (a, b ∈ R; a, b > 0), то для любого показателя степени (n, m ∈ R).
  2. Если основание степени нулевое (а = 0), то только для положительного показателя степени (n ∈ R; n > 0).
  3. Если основание степени отрицательное число (a, b ∈ R; a или b < 0), то только для целого показателя степени (n, m ∈ Z).
  4. В остальных случаях степень - не определена.
Свойство Примеры
а1 = а $$7^1 = 7,   (-5)^1 = -5,   \left(\frac{3}{5}\right)^1 = \frac{3}{5},   0,76^1 = 0,76$$ х1 = х,   (у2 - 32)1 = у2 - 32,   01 = 0
0n = 0, для n > 0;
0n - не определено, для n ⩽ 0
05,47 = 0,   00 - не определено,   0-3 - не определено
$$a^0 = 1,$$ для любого а ≠ 0 х0 = 1,   (-9)0 = 1,   5,980 = 1
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n},$$ для а ≠ 0 $$(-15)^{-4} = \frac{1}{(-15)^4} = \frac{1}{50625}$$ $$-x^{-5} = -\frac{1}{x^5},   (3x + 5)^{-7} = \frac{1}{(3x + 5)^7}$$
$$a^\frac{m}{n} = \sqrt[^n]{a^m},$$ для а > 0, m ∈ Z, n ∈ N, n ⩾ 2; $$a^\frac{m}{n}$$ - не определено, для a < 0 $$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[^2]{16} = 4,$$ $$32^{-\frac{2}{5}} = \sqrt[^5]{32^{-2}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{32^2}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{1064}} = \sqrt[^5]{\frac{1}{4^5}} = \frac{1}{4}$$
$$a^m * a^n = a^{m + n}$$ $$3^2 * 3^{-5} = 3^{2 + (-5)} = 3^{2 - 5} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27},$$ $$t^5 * t^{\frac{1}{2}} = t^{5 + \frac{1}{2}} = t^\frac{11}{2}$$
$$a^m : a^n = a^{m - n},   где   a ≠ 0$$ $$3^2 : 3^{-5} = 3^{2-(-5)} = 3^7 = 2187,$$ $$t^5 : t^2 = t^{5-2} = t^3$$
$$(a^n)^m = a^{n * m}$$ $$(3^2)^{-5} = 3^{2*(-5)} = 3^{-10} = \frac{1}{3^{10}},$$ $$(t^{\frac{2}{3}})^3 = t^{\frac{2}{3} * 3} = t^2$$
$$(a * b)^n = a^n * b^{ n}$$ $$(3 * 5)^2 = 3^2 * 5^2 = 9 * 25 = 225,$$ $$(-2 * t^2)^4 = (-2)^4 * (t^2)^4 = 16 * t^{2 * 4} = 16t^8$$
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^{ n}},   где   b ≠ 0;$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n,   где   a, b ≠ 0;$$ $$\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{5^3} = \frac{-27}{125},$$ $$\left(\frac{t}{m^2}\right)^{-5} = \left(\frac{m^2}{t}\right)^5 = \frac{(m^2)^5}{t^5} = \frac{m^{10}}{t^5}$$
Задача № 1

Запишите умножение 0,5 * 0,5 * 0,5 в виде степени.

Посмотреть ответ

0,53.

Задача № 2

Запишите умножение (х - 1)(х - 1)(х - 1)(х - 1) в виде степени.

Посмотреть ответ

(х - 1)4.

Задача № 3

Верно ли равенство $$(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2}$$?

Посмотреть ответ

Да, верно. Т.к. основание степени отрицательное число, показатель степени - целое число, то степень определена в этом случае. Найдем значение этой степени: $$(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = $$ $$\frac{1}{25} = 0,04$$.

Задача № 4

Верно ли равенство $$(-5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-5)^{\frac{1}{2}}}$$?

Посмотреть ответ

Нет, равенство не верно. Т.к. основание степени отрицательное число, показатель степени является дробным числом, то степень $$(-5)^{-\frac{1}{2}}$$ - не определена и применять свойство степени к неопределенной степени мы не можем.

Задача № 5

Вычислите 4-5 * 43.

Посмотреть ответ

4-5 + 3 = 4-2 = $$\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0,0625$$.

Задача № 6

Вычислите 55 : 5-1.

Посмотреть ответ

55 - (-1) = 55 + 1 = 56 = 15625.

Задача № 7

Вычислите $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$.

Посмотреть ответ

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 3^2 = 9$$.

Задача № 8

Вычислите (1,54)2.

Посмотреть ответ

1,54 * 2 = 1,58 = 25,62890625.

Задача № 9

Возведите в степень (3х)3.

Посмотреть ответ

33 * х3 = 27х3.

Задача № 10

Упростите выражение $$2\left(x^{\frac{4}{5}}\right)^5$$.

Посмотреть ответ

Т.к. показатель степени $$\frac{4}{5}$$ является дробным положительным числом, то степень определена, только если основание степени больше или равно нулю, т.е. при х ⩾ 0, следовательно область определения выражения - D(f) = [0; +∞). $$2 * x^{\frac{4}{5} * 5} = 2x^4$$.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0