Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность (bn), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Рекуррентная формула геометрической прогрессии: bn + 1 = bn * q, где n ∈ N, bn ≠ 0, q ≠ 0. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например, пусть b1 = 4, q = 1,5. Найдем первые пять членов геометрической прогрессии. b2 = b1 * q = 4 * 1,5 = 6. b3 = b2 * q = 6 * 1,5 = 9. b4 = b3 * q = 9 * 1,5 = 13,5. b5 = b4 * q = 13,5 * 1,5 = 20,25. Итого: (bn) = {4; 6; 9; 13,5; 20,25}.
Еще пример, пусть b1 = 7, q = -1. Найдем первые пять членов геометрической прогрессии. b2 = b1 * q = 7 * (-1) = -7. b3 = b2 * q = -7 * (-1) = 7. b4 = b3 * q = 7 * (-1) = -7. b5 = b4 * q = -7 * (-1) = 7. Итого: (bn) = {7; -7; 7; -7; 7}.
Числовой ряд, представляющий собой геометрическую прогрессию, будет состоять: 1) только из положительных чисел, если b1 > 0 и q > 0; 2) только из отрицательных чисел, если b1 < 0 и q > 0; 3) из знакочередующихся чисел, если q < 0, b1 - может быть любого знака;
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Если в геометрической прогрессии | q | < 1, т.е. -1 < q < 1, то такая прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Например, пусть b1 = 2, q = 0,5, тогда b2 = 2 * 0,5 = 1. b3 = 1 * 0,5 = 0,5. b4 = 0,5 * 0,5 = 0,25. b5 = 0,25 * 0,5 = 0,125 и т.д. до бесконечности. Чем больше n, т.е. позиция числа в ряду, тем меньше значение этого числа.
Формулы геометрической прогрессии
Формула n - го члена: bn = b1 * qn - 1.
Например, найдем 5 - ый член геометрической прогрессии, где b1 = 0,1; q = 3: b5 = 0,1 * 35 - 1 = 0,1 * 34 = 8,1. Ответ: b5 = 8,1.
Формула суммы n первых членов: Если q ≠ 1, то $$S_n = \frac{b_{ n}q - b_{ 1}}{q - 1}$$ или $$S_n = \frac{b_{ 1}(q^n - 1)}{q - 1}$$. Если q = 1, то Sn = b1 * n.
Пример. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, где b1 = 0,41; q = 2: $$S_{10} = \frac{0,41 * (2^{10} - 1)}{2 - 1} = $$ 0,41 * (1024 - 1) = 419,43. Ответ: S10 = 419,43.
Еще пример. Найдем сумму первых 5 - ти членов геометрической прогрессии, где b1 = 0,004; q = 1: S5 = 0,004 * 5 = 0,02. Ответ: S5 = 0,02.
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_{ 1}}{1 - q}$$. Например, найдем сумму прогрессии (bn) = {64; 32; 16; 8; 4; 2 ... }. $$q = \frac{32}{64} = 0,5$$, следовательно: $$S = \frac{64}{1 - 0,5} = $$ $$\frac{64}{0,5} = 128$$.
Свойства геометрической прогрессии
Все нижеперечисленные свойства 100% справедливы для геометрической прогрессии, состоящей только из положительных чисел. В остальных случаях, т.е., когда геометрическая прогрессия состоит из отрицательных чисел или знакочередующихся чисел, нужно смотреть какие еще данные вам известны. Например, пусть b4 = -16, b8 = -256 и больше нам ничего не известно, т.е. мы не знаем - это знакочередующийся ряд или отрицательный ряд. Допустим нам нужно найти знаменатель геометрической прогрессии, используя первое свойство из таблицы ниже. Если же находить знаменатель по этой формуле не задумываясь, то мы можем найти его неправильно. Т.к. если ряд состоит из отрицательных чисел, то q должен быть положительным. Если же ряд состоит из знакочередующихся чисел, то q должен быть отрицательным. По первой формуле из таблицы получаем: $$q = \sqrt[^{8 - 4}]{\frac{-256}{-16}} = \sqrt[^4]{16} = 2$$. И это верно, если наш ряд такой: (bn) = {-2; -4; -8; -16; -32; -64; -128; -256}. Но что, если ряд, на самом деле, выглядит так: (bn) = {2; -4; 8; -16; 32; -64; 128; -256}? Это значит, что q, в действительности, отрицателен. В таком случае без уточняющих деталей верно определить знак знаменателя не представляется возможным. Другое дело, если бы изначально нам было дано b4 = -16, b7 = 128, тогда становится понятным, что ряд - знакочередующийся и никаких проблем с поиском знаменателя не возникает: $$q = \sqrt[^{7 - 4}]{\frac{128}{-16}} = \sqrt[^3]{-8} = -2$$. Эта ремарка касается не только знаменателя, а всех свойств описанных в таблице ниже.
Все примеры в таблице приведены для геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел.
Свойство | Примеры |
$$q = \sqrt[^{m - k}]{\frac{b_{ m}}{b_{ k}}}, m > k$$ | Если нужно найти знаменатель прогрессии, а мы знаем лишь несколько членов, например b8 = 69 и b4 = 23, то по формуле получаем $$q = \sqrt[^{8 - 4}]{\frac{69}{23}} = \sqrt[^4]{3}$$ |
$$b_{ n}^{ 2} = b_{ n - 1} * b_{ n + 1}, n > 1$$ или $$b_{ n} = \sqrt{b_{ n - 1} * b_{ n + 1}}, n > 1$$- характеристическое свойство | Пусть b12 = 27, b14 = 3, тогда $$b_{ 13} = \sqrt{27 * 3} = \sqrt{81} = 9$$ |
$$b_{ n}^{ 2} = b_{ n - k} * b_{ n + k}, k < n$$ | Пусть b9 = 4225, b15 = 25. Найдем b12 (k = 3): $$b_{ 12} = \sqrt{4225 * 25} = \sqrt{105625} = 325$$ |
bk * bm = bp * bq, если k + m = p + q | Пусть b4 = 3,2, b7 = 10,8; найти произведение b5 * b6. Т.к. 4 + 7 = 5 + 6 = 11, то b5 * b6 = 3,2 * 10,8 = 34,56 |
bn = bk * qn - k, k < n | Пусть b6 = 13, q = 2, найдем b10 = 13 * 210 - 6 = 13 * 24 = 13 * 16 = 208 |
Если bn = k * pn, где k и p - заданные числа, то (bn) - геометрическая прогрессия | Пусть b6 = 2 * 0,36 = 0,001458, тогда b1 = 2 * 0,31 = 0,6, b2 = 2 * 0,32 = 0,18, b3 = 2 * 0,33 = 0,054, b4 = 2 * 0,34 = 0,0162, b5 = 2 * 0,35 = 0,00486 получаем последовательность (bn) = {0,6; 0,18; 0,054; 0,0162; 0,00486; 0,001458}, где знаменатель между соседними члена составляет q = 0,3, а значит (bn) - геометрическая прогрессия |