Бесконечная десятичная дробь

Чаще всего, при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, получается бесконечная десятичная дробь, т.е. когда дробная часть числа не имеет конца. Бесконечные дроби бывают периодическими и непериодическими.

Периодические дроби

Периодические дроби - это числа, у которых в дробной части, начиная с некоторого места, повторяется одна или несколько цифр, непосредственно идущих друг за другом. Например: 0,06666666..., -17,123456767676767..., 5,2222222.... Чтобы не писать много повторяющихся цифр в дробной части бесконечной периодической дроби, период дроби принято брать в скобки. Например: 0,06666.. = 0,0(6), -17,1234567676767... = -17,12345(67), 5,2222222... = 5,(2).

В свою очередь периодические дроби делятся на чисто периодические и смешанно периодические. У чисто периодической дроби период дроби следует сразу после десятичной запятой. Например, число 5,(2) - является чисто периодической дробью. А у смешанно периодической дроби между запятой и периодом присутствуют еще какие-либо цифры. Например: 0,0(6) и -17,12345(67) - смешанно периодические дроби.

Т.к. любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде: $$\frac{m}{n}$$, где m ∈ Ζ, n ∈ Ν (m - целое, n - натуральное), то это означает, что все бесконечные десятичные периодические дроби и конечные десятичные дроби являются рациональными числами.

Непериодические дроби. Иррациональные числа

Бесконечная дробь, которая в составе своей дробной части, не имеет периода, называется непериодической. Например, число Эйлера: е ≈ 2,718281828459..., или число Пи: π ≈ 3,1415926535897932....

При преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, никогда не получится бесконечная непериодическая дробь. А это значит, что такие дроби не относятся к множеству рациональных чисел.

Бесконечные непериодические дроби относят к множеству иррациональных чисел, которое обозначается буквой I.

Вместе, множество рациональных и иррациональных чисел, образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначается буквой R. Т.е. R = Q ∪ I. По сути - R - представляет собой множество точек на всей числовой прямой. Если взять числовую прямую и тыкнуть в произвольное место на ней, то число, которое кроется за этой точкой, будет являться действительным числом. Оно может быть или рациональным или иррациональным, но всегда действительным.

Задача № 1

Запишите дробь 36,47895111111111111... в виде периодической дроби с периодом.

Посмотреть ответ

36,47895(1).

Задача № 2

Запишите дробь -5741,4444444... в виде периодической дроби с периодом.

Посмотреть ответ

-5741,(4).

Задача № 3

Запишите дробь 0,0000452145214521... в виде периодической дроби с периодом.

Посмотреть ответ

0,0000(4521).

Задача № 4

Из предложенных дробей, назовите все чисто периодические дроби: 0,0000(5), 58,(4), 0,14(23), 8000,(14), 65,27, -84,36922(11).

Посмотреть ответ

У чисто периодической дроби, период дроби следует сразу после десятичной запятой. Следовательно подходящими являются: 58,(4), 8000,(14).

Задача № 5

Является ли число -25,(471) рациональным?

Посмотреть ответ

К рациональным числам относятся все числа, кроме бесконечных непериодических дробей. Наша дробь является бесконечной периодической дробью, а значит она относится к множеству рациональных чисел.

Задача № 6

Является ли число -25,471152354... действительным?

Посмотреть ответ

Да, является. Т.к. число -25,471152354... - это бесконечная непериодическая дробь, то оно относится к множеству иррациональных чисел. А множество иррациональных чисел входит во множество действительных чисел.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0