Бесконечная десятичная дробь
Чаще всего, при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, получается бесконечная десятичная дробь, т.е. когда дробная часть числа не имеет конца. Бесконечные дроби бывают периодическими и непериодическими.
Периодические дроби
Периодические дроби - это числа, у которых в дробной части, начиная с некоторого места, повторяется одна или несколько цифр, непосредственно идущих друг за другом. Например: 0,06666666..., -17,123456767676767..., 5,2222222.... Чтобы не писать много повторяющихся цифр в дробной части бесконечной периодической дроби, период дроби принято брать в скобки. Например: 0,06666.. = 0,0(6), -17,1234567676767... = -17,12345(67), 5,2222222... = 5,(2).
В свою очередь периодические дроби делятся на чисто периодические и смешанно периодические. У чисто периодической дроби период дроби следует сразу после десятичной запятой. Например, число 5,(2) - является чисто периодической дробью. А у смешанно периодической дроби между запятой и периодом присутствуют еще какие-либо цифры. Например: 0,0(6) и -17,12345(67) - смешанно периодические дроби.
Т.к. любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде: $$\frac{m}{n}$$, где m ∈ Ζ, n ∈ Ν (m - целое, n - натуральное), то это означает, что все бесконечные десятичные периодические дроби и конечные десятичные дроби являются рациональными числами.
Непериодические дроби. Иррациональные числа
Бесконечная дробь, которая в составе своей дробной части, не имеет периода, называется непериодической. Например, число Эйлера: е ≈ 2,718281828459..., или число Пи: π ≈ 3,1415926535897932....
При преобразовании обыкновенной дроби в десятичную, никогда не получится бесконечная непериодическая дробь. А это значит, что такие дроби не относятся к множеству рациональных чисел.
Бесконечные непериодические дроби относят к множеству иррациональных чисел, которое обозначается буквой I.
Вместе, множество рациональных и иррациональных чисел, образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначается буквой R. Т.е. R = Q ∪ I. По сути - R - представляет собой множество точек на всей числовой прямой. Если взять числовую прямую и тыкнуть в произвольное место на ней, то число, которое кроется за этой точкой, будет являться действительным числом. Оно может быть или рациональным или иррациональным, но всегда действительным.