Понятие рационального числа
Прежде чем вводить понятие рационального числа, нужно разобраться что такое обыкновенная дробь.
Итак, наконец мы добрались до "камня преткновения" большинства учеников. Обыкновенные дроби. Многие, услышав эти слова, впадают в панику, закатывают глазки, тело покрывается мурашками, сердце начинает бешено колотиться, еще чуть-чуть и обморок обеспечен)).
Но, хочу вас заверить, не так страшен черт, как его малюют). На деле, если хорошенько разобраться, дроби - довольно простая тема. Я попытаюсь максимально просто рассказать про дроби и как с ними работать. Ведь эта ключевая тема, без которой невозможно дальнейшее понимание и усвоение материала.
Обыкновенная дробь
Что такое дробь? Какую ассоциацию у вас вызывает слово "дробь"? Лично для меня, дробь - значит дробить, делить. По своей сути, дробь - это ни что иное как деление. Обычное деление, только записанное через черту. Например, запишем деление в привычном нам до сих пор виде: 6 : 3 = 2, а теперь это же деление, только в виде дроби: $$\frac{6}{3} = 2$$.
Вы наверняка зададитесь вопросом: "Если дробь это то же самое деление, для чего вообще она была придумана?" Отвечаю: Не всякое деление в своем результате дает целое число. Например, при попытке поделить меньшее число на большее: 2 : 7, результат деления, т.е. частное, представляют в виде дроби: $$\frac{2}{7}$$. Воспринимать такую дробь лучше как единое значение. Почему? Сейчас узнаем).
Давайте представим, что у вас День Рождения. Мама купила красивенный торт и вы пригласили в гости 5 друзей. Логично предположить, что для того, чтобы всем достался одинаковый кусок торта, его нужно порезать на равные части. Т.к. человек в гостях 5 плюс вы сами, то в итоге получается, что торт был порезан на 6 одинаковых кусков. Все съели по куску торта и остались очень довольны, ведь тортик был невероятно вкусный. И вот мама спрашивает у вас: "Какая часть торта тебе досталась?". Как отвечать на этот вопрос?
Чтобы ответить на вопрос мамы, посмотрим на рисунок. У нас имеется торт, разрезанный на 6 кусков. Каждый человек съел по одному куску, а значит, ему досталось по $$\frac{1}{6}$$ (одной шестой) части торта.
Т.е. один кусок торта равен $$\frac{1}{6}$$ от всего торта. Но сам то кусок, никак не делился, а значит $$\frac{1}{6}$$ это и есть то самое значение, которое следует воспринимать как единое. Что я пытаюсь этим сказать: относитеcь к дроби как к обычному числу!) Ведь при делении 1 : 6 получается некоторое значение, в нашем случае $$\frac{1}{6}$$. Т.е. если операция деления : призвана произвести деление и найти значение, то дробь $$\frac{1}{6}$$ - является этим значением. По сути дробь это попытка представить значение в виде операции деления: $$1 : 6 = \frac{1}{6}$$ (одна шестая).
Делимое | 1 |
Делитель | 6 |
Частное | $$\frac{1}{6}$$ |
Т.е. в выражении $$1 : 6 = \frac{1}{6}$$, слева от знака равно: 1 - это делимое, 6 - делитель, а результатом этого деления, т.е. частным, является дробь: $$\frac{1}{6}$$ (справа от равно).
Числитель | 1 |
Черта дроби | - |
Знаменатель | 6 |
В выражении $$\frac{1}{6}$$, число над чертой: 1, называется числителем, число под чертой: 6, называется знаменателем. Сама черта - чертой дроби. Ну а собственно, число $$\frac{1}{6}$$ - называется обыкновенной дробью, где числитель и знаменатель ∈ Ν (где числитель и знаменатель являются натуральными числами). Т.е. обыкновенная дробь это положительное число. Знаменатель показывает на сколько частей разделили целую величину, а числитель - сколько частей было взято.
Если провести аналогию с тортиком на числовой прямой, то дробь $$\frac{1}{6}$$ - это все равно, что расстояние между нулем и единичкой поделить на шесть равных частей и взять лишь первую часть. Чем больше частей взять, тем ближе значение к единице, т.е. к целому.
Правильная и неправильная дробь
Обыкновенная дробь, где числитель < знаменателя называют правильной дробью. Например, правильными являются следующие дроби: $$\frac{1}{6}, \frac{4}{9}, \frac{7}{8}$$.
Обыкновенная дробь, где числитель ⩾ знаменателя называется неправильной: $$\frac{13}{4}, \frac{21}{5}, \frac{3}{3}$$.
Каждая правильная дробь меньше 1, а каждая неправильная больше или равна 1: $$\frac{3}{4} < 1, \frac{7}{5} > 1, \frac{9}{9} = 1$$. Логично предположить, что если числитель и знаменатель равны, то дробь будет равна 1, т.к. дробь это деление, то число деленное на само себя дает в результате 1: $$\frac{9}{9} = 9 : 9 = 1$$. Справедливо и обратное, 1 всегда можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель равны: $$1 = \frac{21}{21} = \frac{12}{12} = \frac{7}{7}$$.
Рациональные числа
Числа, которые можно представить в виде: $$\frac{m}{n}$$, где m ∈ Ζ, n ∈ Ν (m - целое, n - натуральное) называют рациональным числом.
Множество всех рациональных чисел обозначается через Q.
Т.к. любое целое число мы всегда можем представить в виде дроби: $$5 = 5 : 1 = \frac{5}{1}$$, то из этого утверждения можно сделать вывод, что множество всех целых чисел принадлежит множеству рациональных чисел: Ζ ∈ Q. Т.е. любое число из множества натуральных и целых чисел, так же является и рациональным числом. Но не всякое рациональное число является целым или натуральным. Вот, например 5 - натуральное число, а также целое число и в том числе рациональное число. Но число $$\frac{1}{5}$$ - является только рациональным числом, потому что оно не является ни целым, ни натуральным.
Если необходимо записать отрицательную дробь, то знак - (минус) пишут перед чертой дроби: $$-\frac{1}{5}$$. Однако верной является и следующая запись отрицательной дроби: $$-\frac{1}{5} = \frac{-1}{5}$$, где минус перед дробью относится к числителю.
В некоторых источниках можно встретить такую запись отрицательной дроби: $$\frac{1}{-5}$$. Подобное может случиться при решении уравнений или каких-нибудь задач, но в таком случае принято избавляться от знака минус в знаменателе и относить его к числителю: $$\frac{1}{-5} = \frac{-1}{5}$$.
Так же вместо прямой черты дроби, можно записывать косую черту: $$\frac{1}{5} = 1/5$$, $$-\frac{1}{5} = -1/5$$.
Обобщим: рациональными числами являются обыкновенные дроби, противоположные им дроби и ноль. Т.е. положительные и отрицательные дроби, а так же ноль, представленный в виде дроби. Например: $$\frac{3}{7}$$, $$-\frac{5}{21}$$, $$\frac{20}{4} = 5$$, $$\frac{0}{9} = 0$$ $$\frac{4}{1} = 4$$ - это все рациональные числа.