Задачи на свойства корней и формул сокращенного умножения
Итак, мы многое уже изучили, многое и можем). Сейчас мы потренируемся применять на практике полученные знания.
Задача № 1: Найдите значение выражения $$\sqrt{197^2 - 28^2}$$.
Решение: Конечно, этот пример можно было бы решить "в лоб", т.е. возвести числа в квадрат, вычесть полученные результаты и выделить квадратный корень. Но этот подход не самое лучшее решение. Намного проще будет воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно, для нашего случая, формулой: a2 - b2 = (a - b)(a + b). Так мы и поступим: $$\sqrt{197^2 - 28^2} = $$ $$\sqrt{(197 - 28)(197 + 28)} = $$ $$\sqrt{169 * 225}$$. Далее воспользуемся свойством корня: $$\sqrt[^n]{a} * \sqrt[^n]{b} = \sqrt[^n]{a * b}$$. Получаем: $$\sqrt{169 * 225} = \sqrt{169} * \sqrt{225} = $$ 13 * 15 = 195.
Ответ: $$\sqrt{197^2 - 28^2} = 195$$.
Задача № 2: Вычислите $$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)}$$.
Решение: При решении этого примера без формул сокращенного умножения никак не обойтись. Нам понадобятся следующие формулы: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, a2 - b2 = (a - b)(a + b), $$\sqrt[^n]{a} * \sqrt[^n]{b} = \sqrt[^n]{a * b}$$. Приступим, для начала вычислим что у нас получается в числителе дроби: $$\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35} = $$ $$\left(\sqrt{5}\right)^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + \left(\sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35} = $$ $$\sqrt{5^2} - 2\sqrt{5 * 7} + \sqrt{7^2} + 2\sqrt{35} = $$ $$| 5 | - 2\sqrt{35} + | 7 | + 2\sqrt{35} = 5 + 7 = 12$$.
Теперь найдем знаменатель дроби: $$\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) = $$ $$\left(\sqrt{5}\right)^2 - 1^2 = $$ $$\sqrt{5^2} - 1 = | 5 | - 1 = 5 - 1 = 4$$. Осталось только подставить вычисленные значения в числитель и знаменатель дроби: $$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)} = $$ $$\frac{12}{4} = 3$$.
Ответ: $$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)} = 3$$.
Задача № 3: Упростите выражение $$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}}$$.
Решение: Для начала давайте преобразуем все смешанные дроби в обыкновенные: $$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}} = $$ $$\sqrt{\frac{49}{11}} - \sqrt{\frac{81}{11}} + \sqrt{\frac{16}{11}} - \sqrt{\frac{36}{11}} = $$ $$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{11}} - \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{11}} + \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{11}} - \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{11}} = $$ $$\frac{7}{\sqrt{11}} - \frac{9}{\sqrt{11}} + \frac{4}{\sqrt{11}} - \frac{6}{\sqrt{11}}$$. Т.к. знаменатели во всех дробях у нас одинаковые, то приводить дроби к общему знаменателю нет необходимости и мы можем произвести арифметические операции над числителями: $$\frac{7 - 9 + 4 - 6}{\sqrt{11}} = $$ $$\frac{-4}{\sqrt{11}} = -\frac{4}{\sqrt{11}} = $$ $$-\sqrt{\frac{16}{11}} = -\sqrt{1\frac{5}{11}}$$.
Ответ: $$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}} = -\sqrt{1\frac{5}{11}}$$.
Задача № 4: Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}$$.
Решение: Немного преобразуем выражение $$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$ $$\frac{\sqrt{9 * 11} + \sqrt{3 * 121} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$ $$\frac{\sqrt{3^2 * 11} + \sqrt{3 * 11^2} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$ $$\frac{3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}$$. $$3\sqrt{11} - 3\sqrt{11} = 0$$, следовательно получаем: $$\frac{11\sqrt{3}}{33\sqrt{3}}$$. Сократим дробь на $$11\sqrt{3}$$: $$\frac{11\sqrt{3} : 11\sqrt{3}}{33\sqrt{3} : 11\sqrt{3}} = $$ $$\frac{(11 : 11) * (\sqrt{3} : \sqrt{3})}{(33 : 11) * (\sqrt{3} : \sqrt{3})} = $$ $$\frac{1 * 1}{3 * 1} = \frac{1}{3}$$.
Ответ: $$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$.
Задача № 5: Найдите значение выражения $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - \left(\sqrt{32} - \sqrt{8}\right)\right)$$.
Решение: У нас здесь вложенность скобок, значит посчитаем что получается в самых глубоко вложенных скобках: $$\sqrt{32} - \sqrt{8} = \sqrt{16 * 2} - \sqrt{4 * 2} = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$. Получаем: $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - 2\sqrt{2}\right) = $$ $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{25 * 2} - 2\sqrt{2}\right) = $$ $$3\sqrt{2} - \left(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\right) = $$ $$3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$$.
Ответ: $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - \left(\sqrt{32} - \sqrt{8}\right)\right) = 0$$.
Задача № 6: Упростите выражение $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$$.
Решение: Для решения этого примера нам понадобится основное свойство корня: $$\sqrt[^n]{a^n} = | a |$$. Т.к. все это выражение представляет из себя в итоге положительное число, т.е. $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} ⩾ 0$$ (можете проверить это самостоятельно), то мы можем воспользоваться основным свойством корня и возвести все это выражение в кадват и взять его под квадратный корень, получаем: $$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2}$$. Теперь возведем подкоренное выражение в квадрат с помощью формулы сокращенного умножения: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, получаем: $$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2} = $$ $$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}\right)^2 + 2 * \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} * \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} + \left(\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{\left(28 - 10\sqrt{3}\right) * \left(28 + 10\sqrt{3}\right)} + 28 + 10\sqrt{3}}$$. Как вы поняли мы избавились от корня в квадрате в выражениях: $$\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}\right)^2$$ и $$\left(\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2$$ - согласно все того же свойства корня. Я сразу опустила модуль, т.к. $$28 - 10\sqrt{3} ⩾ 0$$ и $$28 + 10\sqrt{3} ⩾ 0$$. Теперь воспользуемся следующей формулой сокращенного умножения: a2 - b2 = (a - b)(a + b), получаем: $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{\left(28 - 10\sqrt{3}\right) * \left(28 + 10\sqrt{3}\right)} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{28^2 - \left(10\sqrt{3}\right)^2} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{28^2 - 10^2 * \sqrt{3^2}} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{784 - 100 * 3} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{784 - 300} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{484} + 28 + 10\sqrt{3}}$$. Приведем подобные слагаемые и извлечем корень: $$-10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 0$$, 28 + 28 = 56, $$\sqrt{484} = 22$$, следовательно: $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{484} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$ $$\sqrt{56 + 2 * 22} = $$ $$\sqrt{56 + 44} = \sqrt{100} = 10$$.
Ответ: $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = 10$$.
Задача № 7: Упростите выражение $$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$$.
Решение: При решении этого примера нужно проявить некоторую смекалку. Если хорошо подумать, то можно провести закономерность между нашим примером и формулой: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Давайте посмотрим: $$9 + 4\sqrt{5}$$ можно представить в виде: $$4 + 4\sqrt{5} + 5 = $$ $$2^2 + 2 * 2 * \sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = $$ $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^2$$, следовательно наше выражение превращается: $$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} = $$ $$\sqrt{17 - 4\sqrt{\left(2 + \sqrt{5}\right)^2}} = $$ $$\sqrt{17 - 4 * | 2 + \sqrt{5} |}$$. Сразу опускаем модуль, т.к. $$2 + \sqrt{5} ⩾ 0$$. Раскроем скобки: $$\sqrt{17 - 4 * (2 + \sqrt{5})} = $$ $$\sqrt{17 - 8 - 4\sqrt{5}} = $$ $$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = $$ $$\sqrt{4 - 4\sqrt{5} + 5} = $$ $$\sqrt{2^2 - 2 * 2 * \sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2} = $$ $$\sqrt{\left(2 - \sqrt{5}\right)^2} = $$ $$ 2 - \sqrt{5} $$ . Т.к. $$2 < \sqrt{5}$$, то выражение $$2 - \sqrt{5}$$, является отрицательным числом, следовательно раскрывая модуль, мы должны перед выражением поставить знак минус: $$ 2 - \sqrt{5} $$ = $$-\left(2 - \sqrt{5}\right) = $$ $$-2 + \sqrt{5} = $$ $$\sqrt{5} - 2$$.
Ответ: $$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2$$.