Задачи на свойства корней и формул сокращенного умножения

Итак, мы многое уже изучили, многое и можем). Сейчас мы потренируемся применять на практике полученные знания.

Задача № 1: Найдите значение выражения $$\sqrt{197^2 - 28^2}$$.

Решение: Конечно, этот пример можно было бы решить "в лоб", т.е. возвести числа в квадрат, вычесть полученные результаты и выделить квадратный корень. Но этот подход не самое лучшее решение. Намного проще будет воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно, для нашего случая, формулой:
a2 - b2 = (a - b)(a + b). Так мы и поступим:
$$\sqrt{197^2 - 28^2} = $$
$$\sqrt{(197 - 28)(197 + 28)} = $$
$$\sqrt{169 * 225}$$. Далее воспользуемся свойством корня:
$$\sqrt[^n]{a} * \sqrt[^n]{b} = \sqrt[^n]{a * b}$$. Получаем:
$$\sqrt{169 * 225} = \sqrt{169} * \sqrt{225} = $$
13 * 15 = 195.

Ответ: $$\sqrt{197^2 - 28^2} = 195$$.

Задача № 2: Вычислите $$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)}$$.

Решение: При решении этого примера без формул сокращенного умножения никак не обойтись. Нам понадобятся следующие формулы:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2,
a2 - b2 = (a - b)(a + b),
$$\sqrt[^n]{a} * \sqrt[^n]{b} = \sqrt[^n]{a * b}$$. Приступим, для начала вычислим что у нас получается в числителе дроби:
$$\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35} = $$
$$\left(\sqrt{5}\right)^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + \left(\sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35} = $$
$$\sqrt{5^2} - 2\sqrt{5 * 7} + \sqrt{7^2} + 2\sqrt{35} = $$
$$| 5 | - 2\sqrt{35} + | 7 | + 2\sqrt{35} = 5 + 7 = 12$$.

Теперь найдем знаменатель дроби:
$$\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) = $$
$$\left(\sqrt{5}\right)^2 - 1^2 = $$
$$\sqrt{5^2} - 1 = | 5 | - 1 = 5 - 1 = 4$$.
Осталось только подставить вычисленные значения в числитель и знаменатель дроби:
$$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)} = $$ $$\frac{12}{4} = 3$$.

Ответ: $$\frac{\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^2 + 2\sqrt{35}} {\left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)} = 3$$.

Задача № 3: Упростите выражение $$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}}$$.

Решение: Для начала давайте преобразуем все смешанные дроби в обыкновенные:
$$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}} = $$
$$\sqrt{\frac{49}{11}} - \sqrt{\frac{81}{11}} + \sqrt{\frac{16}{11}} - \sqrt{\frac{36}{11}} = $$
$$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{11}} - \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{11}} + \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{11}} - \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{11}} = $$
$$\frac{7}{\sqrt{11}} - \frac{9}{\sqrt{11}} + \frac{4}{\sqrt{11}} - \frac{6}{\sqrt{11}}$$.
Т.к. знаменатели во всех дробях у нас одинаковые, то приводить дроби к общему знаменателю нет необходимости и мы можем произвести арифметические операции над числителями:
$$\frac{7 - 9 + 4 - 6}{\sqrt{11}} = $$ $$\frac{-4}{\sqrt{11}} = -\frac{4}{\sqrt{11}} = $$
$$-\sqrt{\frac{16}{11}} = -\sqrt{1\frac{5}{11}}$$.

Ответ: $$\sqrt{4\frac{5}{11}} - \sqrt{7\frac{4}{11}} + \sqrt{1\frac{5}{11}} - \sqrt{3\frac{3}{11}} = -\sqrt{1\frac{5}{11}}$$.

Задача № 4: Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}$$.

Решение: Немного преобразуем выражение
$$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$
$$\frac{\sqrt{9 * 11} + \sqrt{3 * 121} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$
$$\frac{\sqrt{3^2 * 11} + \sqrt{3 * 11^2} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = $$
$$\frac{3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}$$.
$$3\sqrt{11} - 3\sqrt{11} = 0$$, следовательно получаем:
$$\frac{11\sqrt{3}}{33\sqrt{3}}$$. Сократим дробь на $$11\sqrt{3}$$:
$$\frac{11\sqrt{3} : 11\sqrt{3}}{33\sqrt{3} : 11\sqrt{3}} = $$
$$\frac{(11 : 11) * (\sqrt{3} : \sqrt{3})}{(33 : 11) * (\sqrt{3} : \sqrt{3})} = $$
$$\frac{1 * 1}{3 * 1} = \frac{1}{3}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$.

Задача № 5: Найдите значение выражения $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - \left(\sqrt{32} - \sqrt{8}\right)\right)$$.

Решение: У нас здесь вложенность скобок, значит посчитаем что получается в самых глубоко вложенных скобках:
$$\sqrt{32} - \sqrt{8} = \sqrt{16 * 2} - \sqrt{4 * 2} = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$. Получаем:
$$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - 2\sqrt{2}\right) = $$
$$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{25 * 2} - 2\sqrt{2}\right) = $$
$$3\sqrt{2} - \left(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\right) = $$
$$3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$$.

Ответ: $$3\sqrt{2} - \left(\sqrt{50} - \left(\sqrt{32} - \sqrt{8}\right)\right) = 0$$.

Задача № 6: Упростите выражение $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$$.

Решение: Для решения этого примера нам понадобится основное свойство корня:
$$\sqrt[^n]{a^n} = |  a  |$$. Т.к. все это выражение представляет из себя в итоге положительное число, т.е.
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} ⩾ 0$$ (можете проверить это самостоятельно), то мы можем воспользоваться основным свойством корня и возвести все это выражение в кадват и взять его под квадратный корень, получаем:
$$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2}$$. Теперь возведем подкоренное выражение в квадрат с помощью формулы сокращенного умножения: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, получаем:
$$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2} = $$
$$\sqrt{\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}\right)^2 + 2 * \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} * \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} + \left(\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{\left(28 - 10\sqrt{3}\right) * \left(28 + 10\sqrt{3}\right)} + 28 + 10\sqrt{3}}$$.
Как вы поняли мы избавились от корня в квадрате в выражениях:
$$\left(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}\right)^2$$ и $$\left(\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}\right)^2$$ - согласно все того же свойства корня. Я сразу опустила модуль, т.к. $$28 - 10\sqrt{3} ⩾ 0$$ и $$28 + 10\sqrt{3} ⩾ 0$$.
Теперь воспользуемся следующей формулой сокращенного умножения: a2 - b2 = (a - b)(a + b), получаем:
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{\left(28 - 10\sqrt{3}\right) * \left(28 + 10\sqrt{3}\right)} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{28^2 - \left(10\sqrt{3}\right)^2} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{28^2 - 10^2 * \sqrt{3^2}} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{784 - 100 * 3} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{784 - 300} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{484} + 28 + 10\sqrt{3}}$$.
Приведем подобные слагаемые и извлечем корень:
$$-10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 0$$, 28 + 28 = 56, $$\sqrt{484} = 22$$, следовательно:
$$\sqrt{28 - 10\sqrt{3} + 2 * \sqrt{484} + 28 + 10\sqrt{3}} = $$
$$\sqrt{56 + 2 * 22} = $$
$$\sqrt{56 + 44} = \sqrt{100} = 10$$.

Ответ: $$\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = 10$$.

Задача № 7: Упростите выражение $$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$$.

Решение: При решении этого примера нужно проявить некоторую смекалку. Если хорошо подумать, то можно провести закономерность между нашим примером и формулой: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Давайте посмотрим:
$$9 + 4\sqrt{5}$$ можно представить в виде:
$$4 + 4\sqrt{5} + 5 = $$
$$2^2 + 2 * 2 * \sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = $$
$$\left(2 + \sqrt{5}\right)^2$$, следовательно наше выражение превращается:
$$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} = $$
$$\sqrt{17 - 4\sqrt{\left(2 + \sqrt{5}\right)^2}} = $$
$$\sqrt{17 - 4 * | 2 + \sqrt{5} |}$$.
Сразу опускаем модуль, т.к. $$2 + \sqrt{5} ⩾ 0$$. Раскроем скобки:
$$\sqrt{17 - 4 * (2 + \sqrt{5})} = $$
$$\sqrt{17 - 8 - 4\sqrt{5}} = $$
$$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = $$
$$\sqrt{4 - 4\sqrt{5} + 5} = $$
$$\sqrt{2^2 - 2 * 2 * \sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2} = $$
$$\sqrt{\left(2 - \sqrt{5}\right)^2} = $$ $$ 2 - \sqrt{5} $$ .
Т.к. $$2 < \sqrt{5}$$, то выражение $$2 - \sqrt{5}$$, является отрицательным числом, следовательно раскрывая модуль, мы должны перед выражением поставить знак минус:
$$ 2 - \sqrt{5} $$ = $$-\left(2 - \sqrt{5}\right) = $$
$$-2 + \sqrt{5} = $$ $$\sqrt{5} - 2$$.

Ответ: $$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2$$.

Задача № 1

Вычислите $$\sqrt{173^2 - 52^2}$$.

Посмотреть ответ

165.

Задача № 2

Вычислите $$\frac{\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)^2 - 2\sqrt{15}} {\left(\sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{3} + 1\right)}$$.

Посмотреть ответ

4.

Задача № 3

Вычислите $$\frac{21\sqrt{7}}{\sqrt{147} + \sqrt{63} - 7\sqrt{3}}$$.

Посмотреть ответ

7.

Задача № 4

Вычислите $$6\sqrt{2} - \left(\sqrt{8} - \left(\sqrt{50} - \sqrt{162}\right)\right)$$.

Посмотреть ответ

0.

Задача № 5

Вычислите $$\sqrt{51 + 14\sqrt{2}} + \sqrt{51 - 14\sqrt{2}}$$.

Посмотреть ответ

14.

Задача № 6

Упростите выражение $$\sqrt{5 - \sqrt{13 + 2\sqrt{12}}}$$.

Посмотреть ответ

$$\sqrt{3} - 1$$.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0