Практика на преобразование рациональных дробей и выражений

Частично мы уже с вами преобразовывали рациональные дроби ранее. Сейчас давайте более детально рассмотрим как преобразовывать рациональные дроби и выражения. Действия с рациональными дробями подчиняются тем же правилам, что и с обычными дробями, также к ним применимы свойства степеней, корней, модуля, формул сокращенного умножения и, собственно, вообще все то, что мы с вами уже изучили. В данной теме мы не будем затрагивать корни, т.к. выражение с корнями уже относится к типу иррациональных выражений, которые мы изучим в следующей теме. Предполагается, что значения переменных для всех примеров, которые мы будем решать ниже, находятся в пределах допустимых значений.

Задача № 1. Сократите дробь: $$\frac{16a^9b^4}{24a^5b^8}$$.

Решение. Внимательно посмотрим на нашу дробь и подумаем какими методами и свойствами можно воспользоваться, чтобы решить пример. Т.к. и в числителе и в знаменателе содержатся одночлены, то пользоваться мы будем правилом деления одночленов, получаем:
$$\frac{\bcancel{16}^{\color{red}{2}}a^{9-5}b^{4-8}}{\bcancel{24}_{\color{red}{3}}} = $$ $$\frac{2a^4b^{-4}}{3} = \frac{2a^4}{3b^4}$$.

Ответ. $$\frac{2a^4}{3b^4}$$.

Задача № 2. Сократите дробь: $$\frac{x^5 - 1}{x^5 - x^{10}}$$.

Решение. В знаменателе дроби вынесем за скобки множитель -x5:
$$\frac{x^5 - 1}{-x^5(-1 + x^5)} = -\frac{x^5 - 1}{x^5(x^5 - 1)}$$. Как видим и в числителе и в знаменателе у нас образовался один и тот же множитель x5 - 1, а значит по основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на этот множитель:
$$-\frac{\bcancel{x^5 - 1}^{\color{red}{1}}}{x^5\bcancel{(x^5 -1)}^{\color{red}{1}}} = -\frac{1}{x^5}$$.

Ответ. $$-\frac{1}{x^5}$$.

Задача № 3. Сократите дробь: $$\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$$.

Решение. Для решения этого примера воспользуемся формулами сокращенного умножения для числителя и определением степени для знаменателя, получаем:
$$\frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)(n - m)}$$. Сократим дробь на множитель n - m:
$$\frac{\bcancel{(n - m)}^{\color{red}{1}}(n + m)}{\bcancel{(n - m)}_{\color{red}{1}}(n - m)} = \frac{n + m}{n - m}$$. Все, больше сокращать нечего.

Ответ. $$\frac{n + m}{n - m}$$.

Задача № 4. Упростите выражение: $$\frac{4x - a}{2y} - \frac{8x - a}{2y}$$.

Решение. В примере знаменатели дробей одинаковы, значит их не нужно приводить к общему знаменателю, можем произвести арифметические операции над числителями дробей:
$$\frac{4x - a - (8x - a)}{2y}$$. Т.к. мы от первого числителя должны отнять весь второй числитель, то второй числитель мы обязательно берем в скобки. Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$$\frac{4x - a - 8x + a}{2y} = \frac{-4x}{2y} = -\frac{2x}{y}$$.

Ответ. $$-\frac{2x}{y}$$.

Задача № 5. Упростите выражение: $$\frac{35b}{b^2 - 36}*\frac{6 - b}{7b}$$.

Решение. Перемножаем дроби:
$$\frac{35b * (6 - b)}{(b^2 - 36) * 7b}$$. Для выражения b2 - 36 воспользуемся формулами сокращенного умножения, получаем:
$$\frac{35b * (6 - b)}{(b - 6)(b + 6) * 7b}$$. В выражении b - 6 вынесем за скобки множитель -1:
$$\frac{35b * (6 - b)}{-1 * (-b + 6)(b + 6) * 7b}$$. Вспоминаем основное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, получаем:
$$\frac{35b * (6 - b)}{-(6 - b)(b + 6) * 7b}$$. А теперь сократим все что сможем:
$$-\frac{\bcancel{35}^{\color{red}{5}}\bcancel{b}^{\color{red}{1}} * \bcancel{(6 - b)}^{\color{red}{1}}} {\bcancel{(6 - b)}_{\color{red}{1}}(6 + b) * \bcancel{7}_{\color{red}{1}}\bcancel{b}_{\color{red}{1}}} = $$ $$-\frac{5}{6 + b}$$.

Ответ. $$-\frac{5}{6 + b}$$.

Задача № 6. Выполните действия: $$\frac{3x - 13}{x - 5} + \frac{2x - 8}{5 - x}$$.

Решение. В знаменателе второй дроби вынесем за скобки множитель -1:
$$\frac{3x - 13}{x - 5} + \frac{2x - 8}{-(x - 5)}$$, теперь образовавшийся минус в знаменателе поставим перед дробью:
$$\frac{3x - 13}{x - 5} + \left(-\frac{2x - 8}{x - 5}\right) = $$
$$\frac{3x - 13}{x - 5} - \frac{2x - 8}{x - 5}$$. Вычтем дроби:
$$\frac{3x - 13 - (2x - 8)}{x - 5} = \frac{3x - 13 - 2x + 8}{x - 5} = $$
$$\frac{x - 5}{x - 5} = 1$$.

Ответ. 1.

Задача № 7. Выполните действия: $$\frac{a}{a^2 - 49} + \frac{7}{49 - a^2}$$.

Решение. По аналогии с предыдущим примером, выносим в знаменателе второй дроби множитель -1 за скобки и ставим его перед дробью, получаем:
$$\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{7}{a^2 - 49} = $$
$$\frac{a - 7}{a^2 - 49} = $$ $$\frac{\bcancel{(a - 7)}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(a - 7)}_{\color{red}{1}}(a + 7)} = \frac{1}{a + 7}$$.

Ответ. $$\frac{1}{a + 7}$$.

Задача № 8. Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{x - 16}{4x} + \frac{4x - 5}{x^2}$$.

Решение. Т.к. у нас разные знаменатели дробей, то мы должны их привести к общему знаменателю, прежде чем мы сможем сложить эти дроби. Для этого нам нужно найти НОК знаменателей дробей. Разложим знаменатели дробей на множители: 4х = 2 * 2 * х, х2 = х * х, а теперь, так же как и при поиске НОК для чисел, возьмем все неповторяющиеся множители и по одному повторяющемуся множителю (т.е. берем по одному множителю из каждой строки в таблице, вне зависимости от того, есть ли в таблице пустые ячейки):

х2
2
2
х х
х

Получаем:
НОК (4х, х2) = 2 * 2 * х * х = 4х2. А теперь найдем дополнительные множители для наших дробей:
для дроби $$\frac{x - 16}{4x}$$:
дополнительный множитель 2 : (4х) = (4 : 4)(х2 : х) = х;
для дроби $$\frac{4x - 5}{x^2}$$:
дополнительный множитель 2 : (х2) = 4(х2 : х2) = 4.
Домножаем числители дробей на их дополнительные множители, а в знаменатели пишем общий знаменатель:
$$\frac{(x - 16) * x}{4x^2} + \frac{(4x - 5) * 4}{4x^2} = $$
$$\frac{x^2 - 16x}{4x^2} + \frac{16x - 20}{4x^2}$$. Теперь, когда знаменатели дробей приведены к общему знаменателю, можем сложить числители:
$$\frac{x^2 - 16x + 16x - 20}{4x^2} = $$ $$\frac{x^2 - 20}{4x^2}$$. Все, выражение представлено в виде дроби.

Ответ. $$\frac{x^2 - 20}{4x^2}$$.

Задача № 9. Выполните вычитание: $$\frac{35}{a^2 + 5a} - \frac{7}{a}$$.

Решение. Разложим знаменатель первой дроби на множители: а2 + 5а = а(а + 5). Найдем общий знаменатель:

а2 + 5а а
а а
а + 5

НОК (а2 + 5а, а) = а(а + 5). Т.к. общий знаменатель совпадает со знаменателем первой дроби, то домножать числитель ни на что не нужно. Найдем дополнительный множитель для второй дроби:
а(a + 5) : a = $$\frac{a(a + 5)}{a} = a + 5$$.
Домножаем числитель второй дроби на дополнительный множитель и в знаменатель пишем общий знаменатель:
$$\frac{35}{a(a + 5)} - \frac{7(a + 5)}{a(a + 5)} = $$
$$\frac{35}{a(a + 5)} - \frac{7a + 35}{a(a + 5)} = $$
$$\frac{35 - (7a + 35)}{a(a + 5)} = $$
$$\frac{35 - 7a - 35}{a(a + 5)} = $$
$$\frac{-7a}{a(a + 5)} = -\frac{7}{a + 5}$$.

Ответ. $$-\frac{7}{a + 5}$$.

Задача № 10. Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{1}{xy - y^2} - \frac{1}{x^2 - xy}$$.

Решение. Разложим на множители знаменатели дробей:
$$\frac{1}{y(x - y)} - \frac{1}{x(x - y)}$$. Найдем общий знаменатель, берем все не совпадающие множители, т.е. x и y и по одному совпадающему, которым является множитель х - у, получаем:
НОК = ху(х - у). Ищем дополнительный множитель для каждой дроби, делим НОК на знаменатель каждой из дробей. Получаем дополнительный множитель для первой дроби - $$\frac{xy(x - y)}{y(x - y)} = x$$,
для второй дроби - $$\frac{xy(x - y)}{x(x - y)} = y$$. Приводим дроби к общему знаменателю:
$$\frac{x}{xy(x - y)} - \frac{y}{xy(x - y)} = $$ $$\frac{x - y}{xy(x - y)}$$. Сократим дробь на множитель х - у:
$$\frac{\bcancel{x - y}^{\color{red}{1}}}{xy\bcancel{(x - y)}_{\color{red}{1}}} = \frac{1}{xy}$$.

Ответ. $$\frac{1}{xy}$$.

Задача № 11. Выполните деление: $$(a - 5) : \frac{a^2 - 10a + 25}{a^2 - 25}$$.

Решение. Числитель дроби можно разложить на множители по формуле квадрата разности: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2, а знаменатель по формуле разности квадратов: х2 - у2 = (х - у)(х + у). Разложим:
$$(a - 5) : \frac{a^2 - 2 * 5 * a + 5^2}{(a - 5)(a + 5)} = $$
$$(a - 5) : \frac{(a - 5)^2}{(a - 5)(a + 5)} = $$
$$(a - 5) : \frac{\bcancel{(a - 5)}^{\color{red}{1}}(a - 5)}{\bcancel{(a - 5)}_{\color{red}{1}}(a + 5)} = $$
$$(a - 5) : \frac{a - 5}{a + 5} = $$
$$\frac{a - 5}{1} * \frac{a + 5}{a - 5} = $$
$$\frac{\bcancel{(a - 5)}^{\color{red}{1}}(a + 5)}{\bcancel{a - 5}_{\color{red}{1}}} = a + 5$$.

Ответ. a + 5.

Задача № 12. Упростите выражение: $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{2 - x}\right)$$.

Решение. В первую очередь рассмотрим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Т.к. знаменатели дробей являются неприводимыми многочленами, то общим знаменателем будет являться произведение этих знаменателей, т.е. общий знаменатель - (х - 1)(2 - х). Соответсвенно, дополнительным множителем для первой дроби будет - 2 - х, для второй - х - 1, получаем:
$$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} + \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(2 - x)}\right) = $$
$$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} + \frac{x^2 - x}{(x - 1)(2 - x)}\right) = $$
$$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \frac{2 - x + x^2 - x}{(x - 1)(2 - x)} = $$
$$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)(2 - x)} = $$
$$\frac{(x - 2)\bcancel{(x^2 - 2x + 2)}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(x^2 - 2x + 2)}_{\color{red}{1}}(x - 1)(2 - x)} = $$
$$-\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} = $$
$$-\frac{\bcancel{2 - x}^{\color{red}{1}}}{(x - 1)\bcancel{(2 - x)}_{\color{red}{1}}} = $$
$$-\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}$$.

Ответ. $$\frac{1}{1 - x}$$.

Задача № 13. Упростите выражение: $$\frac{\frac{a - 2b}{2b} + 1}{\frac{a + 2b}{2b} - 1} + \frac{3 - \frac{6b}{a}}{\frac{a}{2b} - 1}$$.

Решение. Преобразуем каждую из многоэтажных дробей по отдельности.
Первая дробь. Заменим черту дроби знаком деления:
$$\left(\frac{a - 2b}{2b} + 1\right) : \left(\frac{a + 2b}{2b} - 1\right) = $$
$$\left(\frac{a - 2b}{2b} + \frac{2b}{2b}\right) : \left(\frac{a + 2b}{2b} - \frac{2b}{2b}\right) = $$
$$\frac{a - 2b + 2b}{2b} : \frac{a + 2b - 2b}{2b} = $$
$$\frac{a}{2b} : \frac{a}{2b} = $$
$$\frac{a}{2b} * \frac{2b}{a} = 1$$.
Вторая дробь.
$$\left(3 - \frac{6b}{a}\right) : \left(\frac{a}{2b} - 1\right) = $$
$$\left(\frac{3a}{a} - \frac{6b}{a}\right) : \left(\frac{a}{2b} - \frac{2b}{2b}\right) = $$
$$\frac{3a - 6b}{a} : \frac{a - 2b}{2b} = $$
$$\frac{3(a - 2b)}{a} * \frac{2b}{a - 2b} = $$
$$\frac{3(a - 2b) * 2b}{a(a - 2b)} = $$
$$\frac{3\bcancel{(a - 2b)}^{\color{red}{1}} * 2b}{a\bcancel{(a - 2b)}^{\color{red}{1}}} = $$ $$\frac{6b}{a}$$.
Подставим в наше исходное выражение вместо многоэтажных дробей их преобразования, получаем:
$$1 + \frac{6b}{a} = \frac{a + 6b}{a}$$.

Ответ. $$\frac{a + 6b}{a}$$.

Задача № 14. Упростите выражение: $$\frac{7}{3x - 1} - \frac{5}{2x - 1} : \frac{3x - 1}{4x^2 - 1}$$.

Решение. По правилам приоритета операций, в первую очередь мы должны выполнить деление дробей, а после вычитание. Давайте выполним деление:
$$\frac{5}{2x - 1} : \frac{3x - 1}{4x^2 - 1} = $$
$$\frac{5}{2x - 1} * \frac{4x^2 - 1}{3x - 1} = $$
$$\frac{5}{2x - 1} * \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{3x - 1} = $$
$$\frac{5\bcancel{(2x - 1)}^{\color{red}{1}}(2x + 1)}{\bcancel{(2x - 1)}_{\color{red}{1}}(3x - 1)} = $$
$$\frac{5(2x + 1)}{3x - 1}$$.
Подставим в исходное выражение наше получившееся преобразование:
$$\frac{7}{3x - 1} - \frac{5(2x + 1)}{3x - 1} = $$
$$\frac{7 - 5(2x + 1)}{3x - 1} = $$
$$\frac{7 - 10x - 5}{3x - 1} = $$
$$\frac{2 - 10x}{3x - 1}$$. Все, больше упрощать нечего.

Ответ. $$\frac{2 - 10x}{3x - 1}$$.

Задача № 15. Упростите выражение: $$\left(\frac{t^2}{t^2 - 16} + \frac{t}{4 - t}\right) : \left(\frac{t^3}{t^2 - 8t + 16} - \frac{t^2}{t - 4}\right)$$.

Решение. Преобразуем каждую скобку по отдельности.
Первая скобка.
$$\frac{t^2}{t^2 - 16} + \frac{t}{4 - t} = $$
$$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} + \left(-\frac{t}{t - 4}\right) = $$
$$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} - \frac{t}{t - 4} = $$
$$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} - \frac{t(t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} = $$
$$\frac{t^2 - t(t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} = $$
$$\frac{t^2 - t^2 - 4t}{(t - 4)(t + 4)} = $$
$$\frac{-4t}{(t - 4)(t + 4)}$$.
Вторая скобка.
$$\frac{t^3}{t^2 - 8t + 16} - \frac{t^2}{t - 4} = $$
$$\frac{t^3}{t^2 - 2 * 4 * t + 4^2} - \frac{t^2}{t - 4} = $$
$$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^2}{t - 4} = $$
$$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^2(t - 4)}{(t - 4)^2} = $$
$$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^3 - 4t^2}{(t - 4)^2} = $$
$$\frac{t^3 - (t^3 - 4t^2)}{(t - 4)^2} = $$
$$\frac{t^3 - t^3 + 4t^2}{(t - 4)^2} = $$
$$\frac{4t^2}{(t - 4)^2}$$.
Теперь вместо скобок подставим наши преобразования:
$$-\frac{4t}{(t - 4)(t + 4)} : \frac{4t^2}{(t - 4)^2} = $$
$$-\frac{\bcancel{4t}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(t - 4)}_{\color{red}{1}}(t + 4)} * \frac{\bcancel{(t - 4)}^{\color{red}{1}}(t - 4)}{\bcancel{4t}_{\color{red}{1}} * t} = $$
$$-\frac{t - 4}{t(t + 4)} = $$
$$\frac{4 - t}{t^2 + 4t}$$.

Ответ. $$\frac{4 - t}{t^2 + 4t}$$.

Мы разобрали с вами как можно преобразовывать различные выражения, но это лишь верхушка айсберга. Я показала вам только подход к решению подобных примеров, т.к. количество всевозможных выражений невозможно уместить в рамках одной темы. Но в общем и целом, с каким бы выражением вы не имели дело, всегда ищите закономерности, смотрите какие множители можно вынести за скобки, где можно использовать формулы сокращенного умножения, а где стоит разложить многочлен на множители, пользуйтесь свойствами степеней, корней, модуля, правилами арифметических операций с дробями и вообще всем что умеете и знаете. Решайте как можно больше примеров, только практика поможет улучшить ваши навыки.

Задача № 1

Сократите дробь: $$\frac{15a^7b^3}{12a^3b^{10}}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{5a^4}{4b^7}$$.

Задача № 2

Сократите дробь: $$\frac{1 - x^3}{x^6 - x^3}$$.

Посмотреть ответ

$$-\frac{1}{x^3}$$.

Задача № 3

Сократите дробь: $$\frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{m - n}{m + n}$$.

Задача № 4

Упростите выражение: $$\frac{8c + d}{4b} - \frac{10c + d}{4b}$$.

Посмотреть ответ

$$-\frac{c}{2b}$$.

Задача № 5

Упростите выражение: $$\frac{27a}{a^2 - 25} * \frac{5 - a}{9a}$$.

Посмотреть ответ

$$-\frac{3}{a + 5}$$.

Задача № 6

Выполните действия: $$\frac{9x - 11}{3 - x} - \frac{8 - 8x}{x - 3}$$.

Посмотреть ответ

-1.

Задача № 7

Выполните действия: $$\frac{b}{b^2 - 81} - \frac{9}{81 - b^2}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{1}{b - 9}$$.

Задача № 8

Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{y - 25}{5y} + \frac{5y - 2}{y^2}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{y^2 - 10}{5y^2}$$.

Задача № 9

Выполните вычитание: $$\frac{54}{b^2 + 9b} - \frac{6}{b}$$.

Посмотреть ответ

$$-\frac{6}{b + 9}$$.

Задача № 10

Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{1}{x^2 + xy} + \frac{1}{xy + y^2}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{1}{xy}$$.

Задача № 11

Выполните деление: $$(b + 6) : \frac{b^2 + 12b + 36}{b^2 - 36}$$.

Посмотреть ответ

b - 6.

Задача № 12

Упростите выражение: $$\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{2x}{x - 3}\right) : \frac{2x^2 - 3x - 3}{3 - x} $$.

Посмотреть ответ

$$\frac{1}{2 - x}$$.

Задача № 13

Упростите выражение: $$\frac{5 - \frac{10y}{x}}{\frac{x}{2y} - 1} - \frac{\frac{2x + y}{y} - 1}{\frac{2x - y}{y} + 1}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{10y - x}{x}$$.

Задача № 14

Упростите выражение: $$\frac{6}{2x + 3} - \frac{5}{2x + 1} : \frac{2x + 3}{4x^2 - 1}$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{11 - 10x}{2x + 3}$$.

Задача № 15

Упростите выражение: $$\left(\frac{m^3}{m^2 - 4m + 4} - \frac{m^2}{m - 2}\right) : \left(\frac{m^2}{m^2 - 4} + \frac{m}{2 - m}\right)$$.

Посмотреть ответ

$$\frac{m^2 + 2m}{2 - m}$$.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0