Практика на преобразование рациональных дробей и выражений
Частично мы уже с вами преобразовывали рациональные дроби ранее. Сейчас давайте более детально рассмотрим как преобразовывать рациональные дроби и выражения. Действия с рациональными дробями подчиняются тем же правилам, что и с обычными дробями, также к ним применимы свойства степеней, корней, модуля, формул сокращенного умножения и, собственно, вообще все то, что мы с вами уже изучили. В данной теме мы не будем затрагивать корни, т.к. выражение с корнями уже относится к типу иррациональных выражений, которые мы изучим в следующей теме. Предполагается, что значения переменных для всех примеров, которые мы будем решать ниже, находятся в пределах допустимых значений.
Задача № 1. Сократите дробь: $$\frac{16a^9b^4}{24a^5b^8}$$.
Решение. Внимательно посмотрим на нашу дробь и подумаем какими методами и свойствами можно воспользоваться, чтобы решить пример. Т.к. и в числителе и в знаменателе содержатся одночлены, то пользоваться мы будем правилом деления одночленов, получаем: $$\frac{\bcancel{16}^{\color{red}{2}}a^{9-5}b^{4-8}}{\bcancel{24}_{\color{red}{3}}} = $$ $$\frac{2a^4b^{-4}}{3} = \frac{2a^4}{3b^4}$$.
Ответ. $$\frac{2a^4}{3b^4}$$.
Задача № 2. Сократите дробь: $$\frac{x^5 - 1}{x^5 - x^{10}}$$.
Решение. В знаменателе дроби вынесем за скобки множитель -x5: $$\frac{x^5 - 1}{-x^5(-1 + x^5)} = -\frac{x^5 - 1}{x^5(x^5 - 1)}$$. Как видим и в числителе и в знаменателе у нас образовался один и тот же множитель x5 - 1, а значит по основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на этот множитель: $$-\frac{\bcancel{x^5 - 1}^{\color{red}{1}}}{x^5\bcancel{(x^5 -1)}^{\color{red}{1}}} = -\frac{1}{x^5}$$.
Ответ. $$-\frac{1}{x^5}$$.
Задача № 3. Сократите дробь: $$\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$$.
Решение. Для решения этого примера воспользуемся формулами сокращенного умножения для числителя и определением степени для знаменателя, получаем: $$\frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)(n - m)}$$. Сократим дробь на множитель n - m: $$\frac{\bcancel{(n - m)}^{\color{red}{1}}(n + m)}{\bcancel{(n - m)}_{\color{red}{1}}(n - m)} = \frac{n + m}{n - m}$$. Все, больше сокращать нечего.
Ответ. $$\frac{n + m}{n - m}$$.
Задача № 4. Упростите выражение: $$\frac{4x - a}{2y} - \frac{8x - a}{2y}$$.
Решение. В примере знаменатели дробей одинаковы, значит их не нужно приводить к общему знаменателю, можем произвести арифметические операции над числителями дробей: $$\frac{4x - a - (8x - a)}{2y}$$. Т.к. мы от первого числителя должны отнять весь второй числитель, то второй числитель мы обязательно берем в скобки. Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{4x - a - 8x + a}{2y} = \frac{-4x}{2y} = -\frac{2x}{y}$$.
Ответ. $$-\frac{2x}{y}$$.
Задача № 5. Упростите выражение: $$\frac{35b}{b^2 - 36}*\frac{6 - b}{7b}$$.
Решение. Перемножаем дроби: $$\frac{35b * (6 - b)}{(b^2 - 36) * 7b}$$. Для выражения b2 - 36 воспользуемся формулами сокращенного умножения, получаем: $$\frac{35b * (6 - b)}{(b - 6)(b + 6) * 7b}$$. В выражении b - 6 вынесем за скобки множитель -1: $$\frac{35b * (6 - b)}{-1 * (-b + 6)(b + 6) * 7b}$$. Вспоминаем основное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, получаем: $$\frac{35b * (6 - b)}{-(6 - b)(b + 6) * 7b}$$. А теперь сократим все что сможем: $$-\frac{\bcancel{35}^{\color{red}{5}}\bcancel{b}^{\color{red}{1}} * \bcancel{(6 - b)}^{\color{red}{1}}} {\bcancel{(6 - b)}_{\color{red}{1}}(6 + b) * \bcancel{7}_{\color{red}{1}}\bcancel{b}_{\color{red}{1}}} = $$ $$-\frac{5}{6 + b}$$.
Ответ. $$-\frac{5}{6 + b}$$.
Задача № 6. Выполните действия: $$\frac{3x - 13}{x - 5} + \frac{2x - 8}{5 - x}$$.
Решение. В знаменателе второй дроби вынесем за скобки множитель -1: $$\frac{3x - 13}{x - 5} + \frac{2x - 8}{-(x - 5)}$$, теперь образовавшийся минус в знаменателе поставим перед дробью: $$\frac{3x - 13}{x - 5} + \left(-\frac{2x - 8}{x - 5}\right) = $$ $$\frac{3x - 13}{x - 5} - \frac{2x - 8}{x - 5}$$. Вычтем дроби: $$\frac{3x - 13 - (2x - 8)}{x - 5} = \frac{3x - 13 - 2x + 8}{x - 5} = $$ $$\frac{x - 5}{x - 5} = 1$$.
Ответ. 1.
Задача № 7. Выполните действия: $$\frac{a}{a^2 - 49} + \frac{7}{49 - a^2}$$.
Решение. По аналогии с предыдущим примером, выносим в знаменателе второй дроби множитель -1 за скобки и ставим его перед дробью, получаем: $$\frac{a}{a^2 - 49} - \frac{7}{a^2 - 49} = $$ $$\frac{a - 7}{a^2 - 49} = $$ $$\frac{\bcancel{(a - 7)}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(a - 7)}_{\color{red}{1}}(a + 7)} = \frac{1}{a + 7}$$.
Ответ. $$\frac{1}{a + 7}$$.
Задача № 8. Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{x - 16}{4x} + \frac{4x - 5}{x^2}$$.
Решение. Т.к. у нас разные знаменатели дробей, то мы должны их привести к общему знаменателю, прежде чем мы сможем сложить эти дроби. Для этого нам нужно найти НОК знаменателей дробей. Разложим знаменатели дробей на множители: 4х = 2 * 2 * х, х2 = х * х, а теперь, так же как и при поиске НОК для чисел, возьмем все неповторяющиеся множители и по одному повторяющемуся множителю (т.е. берем по одному множителю из каждой строки в таблице, вне зависимости от того, есть ли в таблице пустые ячейки):
4х | х2 |
---|---|
2 | |
2 | |
х | х |
х |
Получаем: НОК (4х, х2) = 2 * 2 * х * х = 4х2. А теперь найдем дополнительные множители для наших дробей: для дроби $$\frac{x - 16}{4x}$$: дополнительный множитель 4х2 : (4х) = (4 : 4)(х2 : х) = х; для дроби $$\frac{4x - 5}{x^2}$$: дополнительный множитель 4х2 : (х2) = 4(х2 : х2) = 4. Домножаем числители дробей на их дополнительные множители, а в знаменатели пишем общий знаменатель: $$\frac{(x - 16) * x}{4x^2} + \frac{(4x - 5) * 4}{4x^2} = $$ $$\frac{x^2 - 16x}{4x^2} + \frac{16x - 20}{4x^2}$$. Теперь, когда знаменатели дробей приведены к общему знаменателю, можем сложить числители: $$\frac{x^2 - 16x + 16x - 20}{4x^2} = $$ $$\frac{x^2 - 20}{4x^2}$$. Все, выражение представлено в виде дроби.
Ответ. $$\frac{x^2 - 20}{4x^2}$$.
Задача № 9. Выполните вычитание: $$\frac{35}{a^2 + 5a} - \frac{7}{a}$$.
Решение. Разложим знаменатель первой дроби на множители: а2 + 5а = а(а + 5). Найдем общий знаменатель:
а2 + 5а | а |
---|---|
а | а |
а + 5 |
НОК (а2 + 5а, а) = а(а + 5). Т.к. общий знаменатель совпадает со знаменателем первой дроби, то домножать числитель ни на что не нужно. Найдем дополнительный множитель для второй дроби: а(a + 5) : a = $$\frac{a(a + 5)}{a} = a + 5$$. Домножаем числитель второй дроби на дополнительный множитель и в знаменатель пишем общий знаменатель: $$\frac{35}{a(a + 5)} - \frac{7(a + 5)}{a(a + 5)} = $$ $$\frac{35}{a(a + 5)} - \frac{7a + 35}{a(a + 5)} = $$ $$\frac{35 - (7a + 35)}{a(a + 5)} = $$ $$\frac{35 - 7a - 35}{a(a + 5)} = $$ $$\frac{-7a}{a(a + 5)} = -\frac{7}{a + 5}$$.
Ответ. $$-\frac{7}{a + 5}$$.
Задача № 10. Представьте в виде дроби выражение: $$\frac{1}{xy - y^2} - \frac{1}{x^2 - xy}$$.
Решение. Разложим на множители знаменатели дробей: $$\frac{1}{y(x - y)} - \frac{1}{x(x - y)}$$. Найдем общий знаменатель, берем все не совпадающие множители, т.е. x и y и по одному совпадающему, которым является множитель х - у, получаем: НОК = ху(х - у). Ищем дополнительный множитель для каждой дроби, делим НОК на знаменатель каждой из дробей. Получаем дополнительный множитель для первой дроби - $$\frac{xy(x - y)}{y(x - y)} = x$$, для второй дроби - $$\frac{xy(x - y)}{x(x - y)} = y$$. Приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{x}{xy(x - y)} - \frac{y}{xy(x - y)} = $$ $$\frac{x - y}{xy(x - y)}$$. Сократим дробь на множитель х - у: $$\frac{\bcancel{x - y}^{\color{red}{1}}}{xy\bcancel{(x - y)}_{\color{red}{1}}} = \frac{1}{xy}$$.
Ответ. $$\frac{1}{xy}$$.
Задача № 11. Выполните деление: $$(a - 5) : \frac{a^2 - 10a + 25}{a^2 - 25}$$.
Решение. Числитель дроби можно разложить на множители по формуле квадрата разности: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2, а знаменатель по формуле разности квадратов: х2 - у2 = (х - у)(х + у). Разложим: $$(a - 5) : \frac{a^2 - 2 * 5 * a + 5^2}{(a - 5)(a + 5)} = $$ $$(a - 5) : \frac{(a - 5)^2}{(a - 5)(a + 5)} = $$ $$(a - 5) : \frac{\bcancel{(a - 5)}^{\color{red}{1}}(a - 5)}{\bcancel{(a - 5)}_{\color{red}{1}}(a + 5)} = $$ $$(a - 5) : \frac{a - 5}{a + 5} = $$ $$\frac{a - 5}{1} * \frac{a + 5}{a - 5} = $$ $$\frac{\bcancel{(a - 5)}^{\color{red}{1}}(a + 5)}{\bcancel{a - 5}_{\color{red}{1}}} = a + 5$$.
Ответ. a + 5.
Задача № 12. Упростите выражение: $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{2 - x}\right)$$.
Решение. В первую очередь рассмотрим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Т.к. знаменатели дробей являются неприводимыми многочленами, то общим знаменателем будет являться произведение этих знаменателей, т.е. общий знаменатель - (х - 1)(2 - х). Соответсвенно, дополнительным множителем для первой дроби будет - 2 - х, для второй - х - 1, получаем: $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} + \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(2 - x)}\right) = $$ $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \left(\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} + \frac{x^2 - x}{(x - 1)(2 - x)}\right) = $$ $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \frac{2 - x + x^2 - x}{(x - 1)(2 - x)} = $$ $$\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 2} * \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)(2 - x)} = $$ $$\frac{(x - 2)\bcancel{(x^2 - 2x + 2)}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(x^2 - 2x + 2)}_{\color{red}{1}}(x - 1)(2 - x)} = $$ $$-\frac{2 - x}{(x - 1)(2 - x)} = $$ $$-\frac{\bcancel{2 - x}^{\color{red}{1}}}{(x - 1)\bcancel{(2 - x)}_{\color{red}{1}}} = $$ $$-\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}$$.
Ответ. $$\frac{1}{1 - x}$$.
Задача № 13. Упростите выражение: $$\frac{\frac{a - 2b}{2b} + 1}{\frac{a + 2b}{2b} - 1} + \frac{3 - \frac{6b}{a}}{\frac{a}{2b} - 1}$$.
Решение. Преобразуем каждую из многоэтажных дробей по отдельности. Первая дробь. Заменим черту дроби знаком деления: $$\left(\frac{a - 2b}{2b} + 1\right) : \left(\frac{a + 2b}{2b} - 1\right) = $$ $$\left(\frac{a - 2b}{2b} + \frac{2b}{2b}\right) : \left(\frac{a + 2b}{2b} - \frac{2b}{2b}\right) = $$ $$\frac{a - 2b + 2b}{2b} : \frac{a + 2b - 2b}{2b} = $$ $$\frac{a}{2b} : \frac{a}{2b} = $$ $$\frac{a}{2b} * \frac{2b}{a} = 1$$. Вторая дробь. $$\left(3 - \frac{6b}{a}\right) : \left(\frac{a}{2b} - 1\right) = $$ $$\left(\frac{3a}{a} - \frac{6b}{a}\right) : \left(\frac{a}{2b} - \frac{2b}{2b}\right) = $$ $$\frac{3a - 6b}{a} : \frac{a - 2b}{2b} = $$ $$\frac{3(a - 2b)}{a} * \frac{2b}{a - 2b} = $$ $$\frac{3(a - 2b) * 2b}{a(a - 2b)} = $$ $$\frac{3\bcancel{(a - 2b)}^{\color{red}{1}} * 2b}{a\bcancel{(a - 2b)}^{\color{red}{1}}} = $$ $$\frac{6b}{a}$$. Подставим в наше исходное выражение вместо многоэтажных дробей их преобразования, получаем: $$1 + \frac{6b}{a} = \frac{a + 6b}{a}$$.
Ответ. $$\frac{a + 6b}{a}$$.
Задача № 14. Упростите выражение: $$\frac{7}{3x - 1} - \frac{5}{2x - 1} : \frac{3x - 1}{4x^2 - 1}$$.
Решение. По правилам приоритета операций, в первую очередь мы должны выполнить деление дробей, а после вычитание. Давайте выполним деление: $$\frac{5}{2x - 1} : \frac{3x - 1}{4x^2 - 1} = $$ $$\frac{5}{2x - 1} * \frac{4x^2 - 1}{3x - 1} = $$ $$\frac{5}{2x - 1} * \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{3x - 1} = $$ $$\frac{5\bcancel{(2x - 1)}^{\color{red}{1}}(2x + 1)}{\bcancel{(2x - 1)}_{\color{red}{1}}(3x - 1)} = $$ $$\frac{5(2x + 1)}{3x - 1}$$. Подставим в исходное выражение наше получившееся преобразование: $$\frac{7}{3x - 1} - \frac{5(2x + 1)}{3x - 1} = $$ $$\frac{7 - 5(2x + 1)}{3x - 1} = $$ $$\frac{7 - 10x - 5}{3x - 1} = $$ $$\frac{2 - 10x}{3x - 1}$$. Все, больше упрощать нечего.
Ответ. $$\frac{2 - 10x}{3x - 1}$$.
Задача № 15. Упростите выражение: $$\left(\frac{t^2}{t^2 - 16} + \frac{t}{4 - t}\right) : \left(\frac{t^3}{t^2 - 8t + 16} - \frac{t^2}{t - 4}\right)$$.
Решение. Преобразуем каждую скобку по отдельности. Первая скобка. $$\frac{t^2}{t^2 - 16} + \frac{t}{4 - t} = $$ $$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} + \left(-\frac{t}{t - 4}\right) = $$ $$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} - \frac{t}{t - 4} = $$ $$\frac{t^2}{(t - 4)(t + 4)} - \frac{t(t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} = $$ $$\frac{t^2 - t(t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} = $$ $$\frac{t^2 - t^2 - 4t}{(t - 4)(t + 4)} = $$ $$\frac{-4t}{(t - 4)(t + 4)}$$. Вторая скобка. $$\frac{t^3}{t^2 - 8t + 16} - \frac{t^2}{t - 4} = $$ $$\frac{t^3}{t^2 - 2 * 4 * t + 4^2} - \frac{t^2}{t - 4} = $$ $$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^2}{t - 4} = $$ $$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^2(t - 4)}{(t - 4)^2} = $$ $$\frac{t^3}{(t - 4)^2} - \frac{t^3 - 4t^2}{(t - 4)^2} = $$ $$\frac{t^3 - (t^3 - 4t^2)}{(t - 4)^2} = $$ $$\frac{t^3 - t^3 + 4t^2}{(t - 4)^2} = $$ $$\frac{4t^2}{(t - 4)^2}$$. Теперь вместо скобок подставим наши преобразования: $$-\frac{4t}{(t - 4)(t + 4)} : \frac{4t^2}{(t - 4)^2} = $$ $$-\frac{\bcancel{4t}^{\color{red}{1}}}{\bcancel{(t - 4)}_{\color{red}{1}}(t + 4)} * \frac{\bcancel{(t - 4)}^{\color{red}{1}}(t - 4)}{\bcancel{4t}_{\color{red}{1}} * t} = $$ $$-\frac{t - 4}{t(t + 4)} = $$ $$\frac{4 - t}{t^2 + 4t}$$.
Ответ. $$\frac{4 - t}{t^2 + 4t}$$.
Мы разобрали с вами как можно преобразовывать различные выражения, но это лишь верхушка айсберга. Я показала вам только подход к решению подобных примеров, т.к. количество всевозможных выражений невозможно уместить в рамках одной темы. Но в общем и целом, с каким бы выражением вы не имели дело, всегда ищите закономерности, смотрите какие множители можно вынести за скобки, где можно использовать формулы сокращенного умножения, а где стоит разложить многочлен на множители, пользуйтесь свойствами степеней, корней, модуля, правилами арифметических операций с дробями и вообще всем что умеете и знаете. Решайте как можно больше примеров, только практика поможет улучшить ваши навыки.