Приведенное квадратное уравнение
Для эффективного решения квадратных уравнений, вполне достаточно знать и использовать формулы дискриминанта и формулы корней полного квадратного уравнения. Эта тема лишь как дополнение к общим формулам.
Уравнение вида x2 + px + q = 0, где а = 1 называется приведенным квадратным уравнением.
Любое квадратное уравнение можно привести к приведенному, путем деления обоих частей уравнения на а ≠ 0. Например, представим уравнение 2х2 - 3х + 8 = 0 в приведенном виде. Для этого поделим каждый член уравнения на 2 (т.е. грубо говоря, мы пользуемся теоремой о равносильности уравнений и делим обе части уравнения на одно и то же число не равное нулю): х2 - 1,5х + 4 = 0.
Корни приведенного квадратного уравнения, помимо общих формул, также можно искать с помощью следующих формул: $$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$$.
Примеры решения приведенных квадратных уравнений
Порешаем немного примеров, лишь для того, чтобы понять, как пользоваться формулами выше. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, в том числе, приведенное, с помощью общих формул.
Задача № 1. Решите уравнение: х2 - 3х - 4 = 0.
Решение. ОДЗ: D(f) = (-∞; +∞). p = -3, q = -4 ⇒ $$x_1 = -\frac{-3}{2} + \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} - (-4)} = $$ $$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = $$ $$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = $$ $$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = $$ $$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. $$x_2 = -\frac{-3}{2} - \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} - (-4)} = $$ $$\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{9 + 16}{4}} = $$ $$\frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$$.
Ответ. х1 = 4, х2 = -1.
Задача № 2. Решите уравнение: х2 - 4х + 4 = 0.
Решение. ОДЗ: D(f) = (-∞; +∞). p = -4, q = 4 ⇒ $$x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} - 4} = $$ $$\frac{4}{2} \pm \sqrt{\frac{16}{4} - \frac{16}{4}} = $$ 2 ± 0 = 2.
Ответ. х = 2.
Формула выделения полного квадрата
Пусть у нас дано выражение вида ax2 + bx + c. Тогда выделить полный квадрат в квадратном трехчлене можно по следующей формуле: $$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$$.
Рассмотрим пример. Выделим полный квадрат в уравнении х2 - 3х - 4 = 0 и решим его. Здесь у нас a = 1, b = -3, c = -4. ⇒ получаем: $$x^2 - 3x - 4 = 1 * \left(x + \frac{-3}{2 * 1}\right)^2 + (-4) - \frac{(-3)^2}{4 * 1} = $$ $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 4 - \frac{9}{4} = $$ $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = $$ $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{16}{4} + \frac{9}{4}\right) = $$ $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$ $$\left(\frac{2x}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$ $$\left(\frac{2x - 3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$ $$\frac{(2x - 3)^2}{4} - \frac{25}{4} = $$ $$\frac{(2x - 3)^2 - 25}{4}$$. Т.е. уравнение х2 - 3х - 4 = 0 превратилось в уравнение: $$\frac{(2x - 3)^2 - 25}{4} = 0$$. Решим его. Т.к. нулю может быть равен только числитель, то (2х - 3)2 - 25 = 0, (2х - 3)2 = 25 = 52, т.е. | 2х - 3 | = | 5 | = 5, а значит либо 2х - 3 = 5, 2х = 8, х = 4, либо 2х - 3 = -5, 2х = -5 + 3 = -2, х = -1. Ответ: х1 = 4, х2 = -1.
Формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Если нам дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, и неважно, приведенное оно или нет. И пусть второй коэффициент в уравнении является кратным 2, т.е. b = 2k, то корни такого уравнения можно искать по следующей формуле: $$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$. Здесь k2 - ac - это сокращенный дискриминант.
Рассмотрим пример. Решим уравнение 3х2 + 4х - 7 = 0. Здесь у нас коэффициент b = 4, т.е. 2k = 4, ⇒ k = 2, a = 3, c = -7. Найдем корни уравнения по формуле выше: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 3*(-7)}}{3} = $$ $$\frac{-2 + \sqrt{4 + 21}}{3} = \frac{-2 + 5}{3} = 1$$. $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2^2 - 3*(-7)}}{3} = $$ $$\frac{-2 - \sqrt{4 + 21}}{3} = \frac{-2 - 5}{3} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$$. Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -2\frac{1}{3}$$.