Приведенное квадратное уравнение

Для эффективного решения квадратных уравнений, вполне достаточно знать и использовать формулы дискриминанта и формулы корней полного квадратного уравнения. Эта тема лишь как дополнение к общим формулам.

Уравнение вида x2 + px + q = 0, где а = 1 называется приведенным квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение можно привести к приведенному, путем деления обоих частей уравнения на а ≠ 0. Например, представим уравнение
2 - 3х + 8 = 0 в приведенном виде. Для этого поделим каждый член уравнения на 2 (т.е. грубо говоря, мы пользуемся теоремой о равносильности уравнений и делим обе части уравнения на одно и то же число не равное нулю):
х2 - 1,5х + 4 = 0.

Корни приведенного квадратного уравнения, помимо общих формул, также можно искать с помощью следующих формул:
$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$$.

Примеры решения приведенных квадратных уравнений

Порешаем немного примеров, лишь для того, чтобы понять, как пользоваться формулами выше. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, в том числе, приведенное, с помощью общих формул.

Задача № 1. Решите уравнение: х2 - 3х - 4 = 0.

Решение. ОДЗ: D(f) = (-∞; +∞).
p = -3, q = -4
$$x_1 = -\frac{-3}{2} + \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} - (-4)} = $$
$$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = $$
$$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = $$
$$\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = $$ $$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.
$$x_2 = -\frac{-3}{2} - \sqrt{\frac{(-3)^2}{4} - (-4)} = $$
$$\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{9 + 16}{4}} = $$ $$\frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$$.

Ответ. х1 = 4, х2 = -1.

Задача № 2. Решите уравнение: х2 - 4х + 4 = 0.

Решение. ОДЗ: D(f) = (-∞; +∞).
p = -4, q = 4
$$x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} - 4} = $$
$$\frac{4}{2} \pm \sqrt{\frac{16}{4} - \frac{16}{4}} = $$ 2 ± 0 = 2.

Ответ. х = 2.

Формула выделения полного квадрата

Пусть у нас дано выражение вида ax2 + bx + c. Тогда выделить полный квадрат в квадратном трехчлене можно по следующей формуле:
$$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$$.

Рассмотрим пример. Выделим полный квадрат в уравнении х2 - 3х - 4 = 0 и решим его. Здесь у нас
a = 1, b = -3, c = -4. ⇒ получаем:
$$x^2 - 3x - 4 = 1 * \left(x + \frac{-3}{2 * 1}\right)^2 + (-4) - \frac{(-3)^2}{4 * 1} = $$
$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 4 - \frac{9}{4} = $$
$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = $$
$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{16}{4} + \frac{9}{4}\right) = $$
$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$
$$\left(\frac{2x}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$
$$\left(\frac{2x - 3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = $$
$$\frac{(2x - 3)^2}{4} - \frac{25}{4} = $$
$$\frac{(2x - 3)^2 - 25}{4}$$. Т.е. уравнение
х2 - 3х - 4 = 0 превратилось в уравнение:
$$\frac{(2x - 3)^2 - 25}{4} = 0$$. Решим его. Т.к. нулю может быть равен только числитель, то
(2х - 3)2 - 25 = 0,
(2х - 3)2 = 25 = 52, т.е.
| 2х - 3 | = | 5 | = 5, а значит либо
2х - 3 = 5, 2х = 8, х = 4, либо
2х - 3 = -5, 2х = -5 + 3 = -2, х = -1.
Ответ: х1 = 4, х2 = -1.

Формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Если нам дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, и неважно, приведенное оно или нет. И пусть второй коэффициент в уравнении является кратным 2, т.е. b = 2k, то корни такого уравнения можно искать по следующей формуле:
$$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$. Здесь k2 - ac - это сокращенный дискриминант.

Рассмотрим пример. Решим уравнение 2 + 4х - 7 = 0. Здесь у нас коэффициент b = 4, т.е. 2k = 4, ⇒ k = 2, a = 3, c = -7. Найдем корни уравнения по формуле выше:
$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 3*(-7)}}{3} = $$ $$\frac{-2 + \sqrt{4 + 21}}{3} = \frac{-2 + 5}{3} = 1$$.
$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2^2 - 3*(-7)}}{3} = $$ $$\frac{-2 - \sqrt{4 + 21}}{3} = \frac{-2 - 5}{3} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$$.
Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -2\frac{1}{3}$$.

Задача № 1

Решите приведенное квадратное уравнение: х2 - 4х + 3 = 0.

Посмотреть ответ

х1 = 3, х2 = 1.

Задача № 2

Решите приведенное квадратное уравнение: х2 - 12х + 36 = 0.

Посмотреть ответ

х = 6.

Задача № 3

Выделите полный квадрат в уравнении и решите его: 0,75х2 + 10х - 23 = 0.

Посмотреть ответ

Полный квадрат: $$\frac{(1,5x + 10)^2 - 169}{3} = 0$$.
Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -15\frac{1}{3}$$.

Задача № 4

Решите квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом: 2 - 6х + 1 = 0.

Посмотреть ответ

х1 = 0,2, х2 = 1.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0