Признаки делимости натуральных чисел
Прежде чем мы начнем говорить о признаках делимости чисел, нужно разобрать несколько понятий.
Четным числом - называют число, которое делится на 2 без остатка. Это любое число, которое заканчивается цифрами: 0, 2, 4, 6, 8. Соответственно, число, которое не делится на 2 без остатка, называют нечетным, т.е. число, которое заканчивается цифрами: 1, 3, 5, 7, 9.
Ноль является четным числом по определению, но помните, ноль не является натуральным числом.
Число делится без остатка на | |
2 | если оно заканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8. Например - 126, 300, 58484 |
3 | если сумма цифр числа делится на 3. Например - 35646, 267, 93 |
4 | если последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например - 1200, 10016, 524 |
5 | если последняя цифра 0 или 5. Например - 60, 125 |
6 | если оно делится и на 2 и на 3 одновременно. Например: 35646, 58476. |
7 | Пример: рассмотрим число 623. Для этого уберем у числа последнюю цифру, получим число 62, а убранную тройку умножим на 2: 3 * 2 = 6. От числа 62 отнимем 6: 62 - 6 = 56. Число 56 делится на 7, следовательно и число 623 делится на 7. |
8 | если последние три цифры нули или образуют число, которое делится на 8. Например - 158000, 34128 |
9 | если сумма цифр числа делится на 9. Например - 4284, 7362, 117 |
10 | если последняя цифра числа ноль |
11 | Пример: рассмотрим число 29587162. Посчитаем сумму цифр на нечетных местах: 2 + 5 + 7 + 6 = 20. Теперь посчитаем сумму цифр на четных местах: 9 + 8 + 1 + 2 = 20. Так вот, если сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на нечетных местах (как у нас), или отличается на 11, то все число 29587162 делится на 11. |
25 | если последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25. Например - 8100, 68375 |
125 | если последние три цифры нули или образуют число, которое делится на 125. Например - 26000, 2625 |
Деление в столбик
Для деления в столбик нужно вспомнить как делить с остатком.
Давайте поделим: 2781 : 9. Используя таблицу выше, мы точно можем сказать, что число 2781 делится на 9 без остатка. Найдем результат этого деления.
2 | 7 | 8 | 1 | | | 9 | _ | _ |
| | 3 |
1) Начиная со старших разрядов выбираем из делимого по порядку цифры, которые образуют число большее, чем делитель. Давайте посмотрим: берем первую цифру из числа 2781, цифру 2. 2 < 9, а значит мы должны в результат (в частное) записать первой цифрой число0 (т.к. 2 : 9 = 0 (остаток 2)), но 0 в начале числа будет являться лидирующим нулем и, следовательно, не записываем его. В таком случае мы берем две первые цифры делимого, т.е. 27. 27 > 9, значит делим их: 27 : 9 = 3. Записываем 3 первой цифрой нашего результата.
- | 2 | 7 | 8 | 1 | | | 9 | _ | _ |
2 | 7 | _ | _ | | | 3 | 0 | ||
0 | 8 |
2) Теперь нам нужно найти остаток от этого деления. Для этого 9 * 3 = 27 и отнимем получившееся от тех чисел делимого, которые мы взяли на прошлом шаге: 27 - 27 = 0. Теперь опустим следующий разряд нашего делимого к получившемуся остатку, т.е. цифру 8. У нас получилось число 08, убираем лидирующий 0, получаем число 8. Теперь надо поделить его на число 9: 8 : 9 = 0 (остаток 8), записываем 0 следующей цифрой нашего результата (это не лидирующий ноль, он находится в составе числа, поэтому записывается обязательно).
- | 2 | 7 | 8 | 1 | | | 9 | _ | _ |
2 | 7 | _ | _ | | | 3 | 0 | 9 | |
- | 8 | |||||||
_ | _ | 0 | _ | |||||
8 | 1 |
3) А далее мы просто повторяем тоже самое, что на предыдущем шаге, пока у нас не закончатся цифры у делимого: 9 * 0 = 0 , отнимаем получившееся от 8: 8 - 0 = 8 - наш остаток. Опускаем следующий разряд к остатку - цифру 1. Получается число 81. Делим его на 9: 81 : 9 = 9. И записываем результат деления следующей цифрой нашего результата.
- | 2 | 7 | 8 | 1 | | | 9 | _ | _ |
2 | 7 | _ | _ | | | 3 | 0 | 9 | |
- | 8 | |||||||
_ | _ | 0 | _ | |||||
- | 8 | 1 | ||||||
_ | _ | 8 | 1 | |||||
0 |
4) Т.к. мы использовали все цифры нашего делимого, то осталось лишь проверить остаток и записать частное. Проверим: 9 * 9 = 81, 81 - 81 = 0.
Итог: 2781 : 9 = 309 (остаток 0). Т.е. можно сказать, что 2781 делится на 9 нацело.
Еще пример деления в столбик
Давайте решим: 35258 : 12.
3 | 5 | 2 | 5 | 8 | | | 1 | 2 | _ | _ |
| | 2 |
1) 3 < 12, следовательно берем число 35. Т.к. 35 не делится нацело на 12, то подбираем ближайшее число меньшее 35, которое делится на 12 без остатка. Подбираем такое число. Давайте попробуем 12 * 1 = 12. 12 < 35 вроде бы подходит, но нам же нужно ближайшее!!! Пробуем 12 * 2 = 24, тоже подходит, а давайте посмотрим 12 * 3 = 36 - не подходит. Значит нужным числом является число 24. Делим: 24 : 12 = 2. Записываем 2 первой цифрой нашего результата.
- | 3 | 5 | 2 | 5 | 8 | | | 1 | 2 | _ | _ |
2 | 4 | _ | _ | _ | | | 2 | 9 | |||
1 | 1 | 2 |
2) Далее найдем остаток: 35 - 24 = 11. Опускаем к остатку следующий разряд: это число 2. Делим 112 : 12. Т.к. 112 не делится нацело на 12, то нам нужно найти ближайшее число, меньшее 112, которое делится на 12 без остатка. Давайте найдем методом подбора. Если 12 * 9, то получаем 108, 108 < 112 и является ближайшим к 112 - подходит.
108 : 12 = 9, записываем 9 следующей цифрой нашего результата.
- | 3 | 5 | 2 | 5 | 8 | | | 1 | 2 | _ | _ |
2 | 4 | _ | _ | _ | | | 2 | 9 | 3 | ||
- | 1 | 1 | 2 | |||||||
1 | 0 | 8 | _ | _ | ||||||
4 | 5 |
3) Повторяем действия предыдущего шага. Ищем остаток: 112 - 108 = 4. Опускаем к остатку следующий разряд. Получаем число 45. Т.к. 45 не делится нацело на 12, подбираем ближайшее число, меньшее 45, которое делится на 12 нацело. Это число 36. Делим 36 : 12 = 3, записываем 3 следующей цифрой нашего результата.
- | 3 | 5 | 2 | 5 | 8 | | | 1 | 2 | _ | _ |
2 | 4 | _ | _ | _ | | | 2 | 9 | 3 | 8 | |
- | 1 | 1 | 2 | |||||||
1 | 0 | 8 | _ | _ | ||||||
- | 4 | 5 | ||||||||
3 | 6 | _ | ||||||||
9 | 8 |
4) Аналогично. Ищем остаток: 45 - 36 = 9. Опускаем следующий разряд. Получаем число 98. Подбираем ближайшее число, меньшее 98, которое делится на 12 нацело. Давайте попробуем 12 * 8 = 96. Число 96 < 98 - подходит. Делим 96 : 12 = 8, записываем 8 следующей цифрой нашего результата.
- | 3 | 5 | 2 | 5 | 8 | | | 1 | 2 | _ | _ |
2 | 4 | _ | _ | _ | | | 2 | 9 | 3 | 8 | |
- | 1 | 1 | 2 | |||||||
1 | 0 | 8 | _ | _ | ||||||
- | 4 | 5 | ||||||||
_ | _ | 3 | 6 | _ | ||||||
- | 9 | 8 | ||||||||
_ | _ | _ | 9 | 6 | ||||||
2 |
5) Т.к. мы выбрали все цифры нашего делимого, то осталось найти остаток и записать итог. Делаем: 98 - 96 = 2.
Итог: 35258 : 12 = 2938 (остаток 2), т.е. справедливо равенство: 35258 = 2938 * 12 + 2.