Признаки делимости натуральных чисел

Прежде чем мы начнем говорить о признаках делимости чисел, нужно разобрать несколько понятий.

Четным числом - называют число, которое делится на 2 без остатка. Это любое число, которое заканчивается цифрами: 0, 2, 4, 6, 8. Соответственно, число, которое не делится на 2 без остатка, называют нечетным, т.е. число, которое заканчивается цифрами: 1, 3, 5, 7, 9.

Ноль является четным числом по определению, но помните, ноль не является натуральным числом.

Число делится без остатка на
2 если оно заканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8. Например - 126, 300, 58484
3 если сумма цифр числа делится на 3. Например - 35646, 267, 93
4 если последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например - 1200, 10016, 524
5 если последняя цифра 0 или 5. Например - 60, 125
6 если оно делится и на 2 и на 3 одновременно. Например: 35646, 58476.
7 Пример: рассмотрим число 623. Для этого уберем у числа последнюю цифру, получим число 62, а убранную тройку умножим на 2: 3 * 2 = 6. От числа 62 отнимем 6: 62 - 6 = 56. Число 56 делится на 7, следовательно и число 623 делится на 7.
8 если последние три цифры нули или образуют число, которое делится на 8. Например - 158000, 34128
9 если сумма цифр числа делится на 9. Например - 4284, 7362, 117
10 если последняя цифра числа ноль
11 Пример: рассмотрим число 29587162. Посчитаем сумму цифр на нечетных местах: 2 + 5 + 7 + 6 = 20. Теперь посчитаем сумму цифр на четных местах: 9 + 8 + 1 + 2 = 20. Так вот, если сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на нечетных местах (как у нас), или отличается на 11, то все число 29587162 делится на 11.
25 если последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25. Например - 8100, 68375
125 если последние три цифры нули или образуют число, которое делится на 125. Например - 26000, 2625

Деление в столбик

Для деления в столбик нужно вспомнить как делить с остатком.

Давайте поделим: 2781 : 9. Используя таблицу выше, мы точно можем сказать, что число 2781 делится на 9 без остатка. Найдем результат этого деления.

2 7 8 1 | 9 _ _
| 3

1) Начиная со старших разрядов выбираем из делимого по порядку цифры, которые образуют число большее, чем делитель. Давайте посмотрим: берем первую цифру из числа 2781, цифру 2. 2 < 9, а значит мы должны в результат (в частное) записать первой цифрой число0 (т.к. 2 : 9 = 0 (остаток 2)), но 0 в начале числа будет являться лидирующим нулем и, следовательно, не записываем его. В таком случае мы берем две первые цифры делимого, т.е. 27. 27 > 9, значит делим их: 27 : 9 = 3. Записываем 3 первой цифрой нашего результата.

- 2 7 8 1 | 9 _ _
2 7 _ _ | 3 0
0 8

2) Теперь нам нужно найти остаток от этого деления. Для этого 9 * 3 = 27 и отнимем получившееся от тех чисел делимого, которые мы взяли на прошлом шаге: 27 - 27 = 0. Теперь опустим следующий разряд нашего делимого к получившемуся остатку, т.е. цифру 8. У нас получилось число 08, убираем лидирующий 0, получаем число 8. Теперь надо поделить его на число 9: 8 : 9 = 0 (остаток 8), записываем 0 следующей цифрой нашего результата (это не лидирующий ноль, он находится в составе числа, поэтому записывается обязательно).

- 2 7 8 1 | 9 _ _
2 7 _ _ | 3 0 9
- 8
_ _ 0 _
8 1

3) А далее мы просто повторяем тоже самое, что на предыдущем шаге, пока у нас не закончатся цифры у делимого: 9 * 0 = 0 , отнимаем получившееся от 8: 8 - 0 = 8 - наш остаток. Опускаем следующий разряд к остатку - цифру 1. Получается число 81. Делим его на 9: 81 : 9 = 9. И записываем результат деления следующей цифрой нашего результата.

- 2 7 8 1 | 9 _ _
2 7 _ _ | 3 0 9
- 8
_ _ 0 _
- 8 1
_ _ 8 1
0

4) Т.к. мы использовали все цифры нашего делимого, то осталось лишь проверить остаток и записать частное. Проверим: 9 * 9 = 81, 81 - 81 = 0.

Итог: 2781 : 9 = 309 (остаток 0). Т.е. можно сказать, что 2781 делится на 9 нацело.

Еще пример деления в столбик

Давайте решим: 35258 : 12.

3 5 2 5 8 | 1 2 _ _
| 2

1) 3 < 12, следовательно берем число 35. Т.к. 35 не делится нацело на 12, то подбираем ближайшее число меньшее 35, которое делится на 12 без остатка. Подбираем такое число. Давайте попробуем 12 * 1 = 12. 12 < 35 вроде бы подходит, но нам же нужно ближайшее!!! Пробуем 12 * 2 = 24, тоже подходит, а давайте посмотрим 12 * 3 = 36 - не подходит. Значит нужным числом является число 24. Делим: 24 : 12 = 2. Записываем 2 первой цифрой нашего результата.

- 3 5 2 5 8 | 1 2 _ _
2 4 _ _ _ | 2 9
1 1 2

2) Далее найдем остаток: 35 - 24 = 11. Опускаем к остатку следующий разряд: это число 2. Делим 112 : 12. Т.к. 112 не делится нацело на 12, то нам нужно найти ближайшее число, меньшее 112, которое делится на 12 без остатка. Давайте найдем методом подбора. Если 12 * 9, то получаем 108, 108 < 112 и является ближайшим к 112 - подходит.

108 : 12 = 9, записываем 9 следующей цифрой нашего результата.

- 3 5 2 5 8 | 1 2 _ _
2 4 _ _ _ | 2 9 3
- 1 1 2
1 0 8 _ _
4 5

3) Повторяем действия предыдущего шага. Ищем остаток: 112 - 108 = 4. Опускаем к остатку следующий разряд. Получаем число 45. Т.к. 45 не делится нацело на 12, подбираем ближайшее число, меньшее 45, которое делится на 12 нацело. Это число 36. Делим 36 : 12 = 3, записываем 3 следующей цифрой нашего результата.

- 3 5 2 5 8 | 1 2 _ _
2 4 _ _ _ | 2 9 3 8
- 1 1 2
1 0 8 _ _
- 4 5
3 6 _
9 8

4) Аналогично. Ищем остаток: 45 - 36 = 9. Опускаем следующий разряд. Получаем число 98. Подбираем ближайшее число, меньшее 98, которое делится на 12 нацело. Давайте попробуем 12 * 8 = 96. Число 96 < 98 - подходит. Делим 96 : 12 = 8, записываем 8 следующей цифрой нашего результата.

- 3 5 2 5 8 | 1 2 _ _
2 4 _ _ _ | 2 9 3 8
- 1 1 2
1 0 8 _ _
- 4 5
_ _ 3 6 _
- 9 8
_ _ _ 9 6
2

5) Т.к. мы выбрали все цифры нашего делимого, то осталось найти остаток и записать итог. Делаем: 98 - 96 = 2.

Итог: 35258 : 12 = 2938 (остаток 2), т.е. справедливо равенство: 35258 = 2938 * 12 + 2.

Задача № 1

Из предложенных чисел выберите натуральные четные числа: 225, 22, 17, 176, 313, 0, 558, 4, 99, 1000, 1001.

Посмотреть ответ

Четные числа - это те числа, которые заканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8. Следовательно, из всех предложенных чисел, четными являются: 22, 176, 558, 4, 1000. По определению, 0 - является четным числом, но не является натуральным. А нас просят найти все четные и, в том числе, натуральные числа.

Задача № 2

Из предложенных чисел выберите нечетные числа: 225, 22, 17, 176, 313, 0, 558, 4, 99, 1000, 1001.

Посмотреть ответ

Нечетные числа - это те числа, которые заканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9. Следовательно нечетными являются: 225, 17, 313, 99, 1001.

Задача № 3

Используя таблицу признаков делимости, укажите на какие числа от 2 до 10 включительно делится без остатка число 58476?

Посмотреть ответ

Т.к. число 58476 - четное, то оно делится без остатка на 2.
Сумма его цифр 5 + 8 + 4 + 7 + 6 = 30- делится на 3, следовательно и число делится без остатка на 3.
Последние две цифры образуют число: 76, которое делится без остатка на 4, значит, и само число 58476 делится на 4.
Число не заканчивается на 0 или 5, значит оно не делится на 5 без остатка.
Т.к. число 58476 - делится и на 2 и на 3, то оно так же делится без остатка и на 6.
Если использовать алгоритм из таблицы признаков делимости, для выяснения, делится ли наше число на 7, то выяснится, что не делится.
Число так же не делится на 8 без остатка, т.к. последние три цифры не делятся на 8.
Число не делится на 9, т.к. сумма цифр числа - не делится на 9 без остатка.
А так же число не делится и на 10 без остатка, потому что число 58476 - не заканчивается нулем.
Итог: число 58476 делится без остатка на следующие числа - 2, 3, 4, 6.

Задача № 4

Используя таблицу признаков делимости, укажите на какие числа от 2 до 10 включительно делится без остатка число 3687549?

Посмотреть ответ

Число 3687549 делится без остатка только на число 3. Для примера рассуждений см. ответ к задаче № 3.

Задача № 5

Используя таблицу признаков делимости, укажите на какие числа от 2 до 10 включительно делится без остатка число 1247300?

Посмотреть ответ

Число 1247300 делится без остатка на следующие числа - 2, 4, 5, 10. Для примера рассуждений см. ответ к задаче № 3.

Задача № 6

Найдите частное и остаток от деления 4389 : 7 в столбик.

Посмотреть ответ

4389 : 7 = 627 (остаток 0).

Задача № 7

Найдите частное и остаток от деления 423680 : 57 в столбик.

Посмотреть ответ

423680 : 57 = 7432 (остаток 56).

Задача № 8

Найдите частное и остаток от деления 3938 : 11 в столбик.

Посмотреть ответ

3938 : 11 = 358 (остаток 0).

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0