Понятие переменной в математике

Ну что, дорогие друзья)! До сих пор мы с вами работали лишь с числами, настало время ввести понятие переменной.

Переменной в математике называется буквенное обозначение неизвестного нам числа или выражения, также содержащего переменные.

Например, в выражении х + 2 = 5, буква х - это переменная, само выражение: х + 2 = 5 - называют уравнением с одной переменной, потому что, оно представляет собой равенство, содержащее одну переменную. И пусть перед нами стоит задача: решить это уравнение. Т.е. это означает, найти значение переменной х, при котором данное уравнение обращается в верное числовое равенство (такое значение еще называют корнем уравнения). Давайте решим. Вопрос: к какому числу нужно прибавить 2, чтобы получить 5? Ответ: к 3. Следовательно, х = 3. Вот мы и нашли значение переменной х. Если сейчас в наше уравнение вместо х мы подставим значение 3, то мы получим верное числовое равенство: 3 + 2 = 5. Верно? Верно! Значит значение переменной х мы нашли правильно.

Прежде чем описывать принцип решения уравнений, давайте вспомним как же называются члены арифметических операций:

Пример 3 + 5 = 8
Слагаемое 3
Слагаемое 5
Сумма 8
Пример 15 - 8 = 7
Уменьшаемое 15
Вычитаемое 8
Разность 7
Пример 5 * 3 = 15
Множитель 5
Множитель 3
Произведение 15
Пример 15 : 5 = 3
Делимое 15
Делитель 5
Частное 3

Способы решения уравнений с одной переменной

В таблице a и b - известные члены уравнения, х - искомое значение, т.е. наша неизвестная переменная.

Вид уравнения Способ решения Общий принцип Примеры
х + a = b
a + x = b
x = b - a Для нахождения неизвестного слагаемого,
нужно от суммы отнять второе (известное) слагаемое
х + 2 = 5,
х = 5 - 2,
х = 3;

20 + x = 4,
х = 4 - 20,
х = -16;
x - a = b x = b + a Для нахождения неизвестного уменьшаемого,
нужно к разности прибавить вычитаемое
х - 14 = 3,
х = 3 + 14,
х = 17;

x - 10 = -31,
х = -31 + 10,
х = -21;
a - x = b x = a - b Для нахождения неизвестного вычитаемого,
нужно от уменьшаемого отнять разность
25 - х = 13,
х = 25 - 13,
х = 12;

-58 - х = 34,
х = -58 - 34,
х = -92;
x * a = b
a * x = b
x = b : a; Для нахождения неизвестного множителя,
нужно произведение поделить на второй (известный) множитель
х * 5 = 25,
х = 25 : 5,
х = 5;

-3 * х = 30,
х = 30 : (-3),
х = -10;
x : a = b x = b * a Для нахождения неизвестного делимого,
нужно частное умножить на делитель
х : 4 = 8,
х = 8 * 4,
х = 32;

х : (-5) = -30,
х = (-30) * (-5),
х = 150;
a : x = b x = a : b Для нахождения неизвестного делителя,
нужно делимое разделить на частное
15 : х = 3,
х = 15 : 3,
х = 5;

-45 : х = 15,
х = -45 : 15,
х = -3;

Понятие области определения

При решении любых уравнений, есть такое понятие как область определения. Областью определения называют множество значений, которые может принимать переменная. Вы наверняка помните одно из важнейших правил математики, что на ноль делить нельзя. В контексте данной темы: если переменная или выражение с переменной является делителем, то областью определения уравнения будут все значения переменной, при которых делитель не обращается в ноль. Например, 56 : х = 8, областью определения этого уравнения, являются любые числа, кроме 0. А уже корнем этого уравнения является число 7. 7 ≠ 0, а значит этот корень входит в область определения уравнения и подходит нам. Если бы случилось так, что корнем уравнения был бы 0, а ноль не входит в область определения, то тогда этот корень не подходит. В таком случае, у уравнения не было бы решения, и ответ был бы, что корней нет.

Область определения обозначается: D(f). Для нашего примера 56 : х = 8, D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞) означает, что в область определения нашего уравнения входят все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, кроме нуля. Круглые скобки около нулей (-∞; 0) ∪ (0; +∞), говорят нам о том, что нуль не включен во множество допустимых значений. Знак называют объединением, который соединяет между собой два и более промежутков (в нашем случае два). Т.е. любое значение из этих промежутков потенциально может являться значением переменной.

Если же границы промежутков включаются в область определения, то вместо круглых скобок пишут квадратные, например D(f) = (-100; -3] ∪ [5; 1000]. Здесь говорится, что область определения в промежутках от -100 не включая до -3 включительно - объединение - от 5 включительно до 1000 включительно.

Примеры решения уравнений посложнее

Мы разобрали, как находить значение переменной для самых простых видов уравнений. Понятное дело, уравнения могут быть куда сложнее. Например, решим уравнение:
7 * х - 15 = 24 + 3.
Здесь у нас есть известные и неизвестные члены уравнения. Чтобы его решить, нужно неизвестные члены оставить с одной стороны знака равно, а известные члены нужно перенести по другую сторону знака равно. Все это делается по тому же принципу, что мы описали выше. Для начала, нашим неизвестным является 7 * х (потому что у умножения приоритет выше, чем у вычитания или сложения), его мы оставляем по левую сторону от знака равно. Само оно в выражении 7 * х - 15, является неизвестным уменьшаемым. А как мы уже знаем неизвестное уменьшаемое находится путем прибавления вычитаемого к разности, то
7 * х = 24 + 3 + 15,
7 * х = 42, ну а теперь осталось только найти х:
х = 42 : 7 = 6.
Ответ: х = 6. Проверим:
7 * 6 - 15 = 24 + 3,
42 - 15 = 27,
27 = 27 - верно.

Как вы поняли, если переменная умножается или делится на число и есть еще какие-либо арифметические операции с известными членами, то неизвестным членом уравнения у нас будет считаться это самое умножение (деление) переменной на число, до тех пор, пока не будет посчитан результат арифметических операций известных членов.

Для лучшего понимания рассмотрим еще несколько примеров:
3 : х - 17 + 4 * 7 = 64 : 8.
D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Неизвестным членом уравнения у нас, на данный момент, является 3 : х - потому что у деления приоритет выше, чем у вычитания или сложения. Значит, сначала надо посчитать результат арифметических операций всех известных членов уравнения:
3 : х - 17 + 28 = 8,
3 : х + (-17) + 28 = 8,
3 : х + 28 - 17 = 8,
3 : х + 11 = 8,
3 : х = 8 - 11,
3 : х = -3.
Ну а теперь нашим неизвестным является х. Найдем его:
х = 3 : (-3),
х = -1.

Последний пример:
17 - х * 4 = 146 - 25 : 5.
Нашим неизвестным здесь является: х * 4, посчитаем результат арифметических операций всех известных членов уравнения:
17 - х * 4 = 146 - 5,
17 - х * 4 = 141,
х * 4 - является неизвестным вычитаемым, значит, по правилам выше, для его нахождения, надо из уменьшаемого вычесть разность, делаем:
х * 4 = 17 - 141,
х * 4 = -124,
х = -124 : 4,
х = -31.
Ответ: х = -31, правильность данного решения оставляю проверить вам.

Задача № 1

Решите уравнение х + 10 = -8.

Посмотреть ответ

В примере, х является неизвестным слагаемым. А для нахождения неизвестного слагаемого, нужно от суммы отнять второе слагаемое: х = -8 - 10 = -18. Ответ: х = -18.

Задача № 2

Решите уравнение 15 * х = 60.

Посмотреть ответ

Здесь х является неизвестным множителем. Следовательно, чтобы найти х, нужно произведение поделить на второй множитель: х = 60 : 15 = 4. Ответ: х = 4.

Задача № 3

Решите уравнение х * (-3) = 15.

Посмотреть ответ

х - неизвестный множитель. Для нахождения х, поделим произведение на второй множитель: х = 15 : (-3) = -5. Ответ: х = -5.

Задача № 4

Решите уравнение 120 : у - 23 = 17.

Посмотреть ответ

Здесь неизвестным значением является 120 : у. Область определения у ≠ 0. Для начала найдем наше неизвестное, которое в выражении является уменьшаемым, а следовательно, для его нахождения нужно к разности прибавить вычитаемое: 120 : у = 17 + 23, 120 : у = 40. А теперь найдем чему равно у. Он у нас является неизвестным делителем, а значит для его нахождения нужно делимое разделить на частное: у = 120 : 40 = 3. Ответ: у = 3.

Задача № 5

Решите уравнение 45 - 5 * х = 30.

Посмотреть ответ

Нашим неизвестным является вычитаемое - 5 * х. Для нахождения неизвестного вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность, сделаем: 5 * х = 45 - 30, 5 * х = 15. Осталось только найти значение х, которое является неизвестным множителем. А для нахождения неизвестного множителя нужно произведение поделить на второй множитель: х = 15 : 5 = 3. Ответ: х = 3.

Ваша реакция (только для зарегистрированных пользователей)
@%#$@#
Злой заяц
0
Ку-ку!)
Глупый попугай
0
What?!
Удивленный страус
0
Догоняю!
Гордый мопс
0
Понял!!!
Веселый лемур
0